二重积分的极坐标计算公式导出的方法;熟练掌握

与一变量函数类似，一般是在一个有界区域内积分，然后求极限，使有界区域趋向于原来的无界区域。 下面的例子说明了常见的广义二重积分 8,,21x,例 5 证明,.(泊松积分),,,Iedx,,,(),,,2,,,,rx1x,,,[ , ] ,, ,( )(0),,,(1)1edx,,00 证明因为 2,,,,,,,,,,,,,22222()xy,,,sxy,, ,edxdy,,,,,,, ,00,,000,,,,,,222,,,1r2,r,. ,derdr,,,,edr,(1),,,,,,,1ts,,2,1ts,,2so。 ,, 2,,,,()2,,,42002,,,,1ts,,,,2另一个证明是,,,,(),,,,xy 假设，而 Dxyxy,,,(,)|0 ,0Hed, ,,,,,D 一方面,,,,,,xyxy2,,; ,,,,,,[()],,,,0022D 另一方面 Dxyxy,,,(,)|0,0,,, ,,(,)|0,0rr ,,,,,,,, ,,,2,,,,,,,,2 ,,,,,,,,00D,,211,,,,r22 ,,, ,,edd[]|,,0,,,2 由下式给出。 ,,,,,(())(),2242证明方法三: 假设 9 222, ,,,,,(,)|,0,0, ,,,,,,(,)|0,0,,222 。 ,,,,,(,)|2,0,0,,2 是积分区域矩形的内切圆和外接圆。 根据夹点原理 得到,,,,,,则由,,,,,,,,,,,,,,,,RxyR2, (1)(1),,,,eede,,,44S 取上式求极限得到R,,,,,222,,x,,,xy,即。 Iedx,,ed,,,,,024S 示例 6 (90.5) 计算二重积分 2,y, ,,D2，其中 是曲线，Dyx ,42 在第一象限所包围的区域中。 yx,9 解积分面积可表示为 yy, Dxyyx,,,,,,,{(,)0,}32yy,,,,,,,y22,,e ]dxy[,,,,,,,, ,,, ,,(),,,,y。 ,,,e()|总结： 1、将图与适当的积分序列组合起来，计算累积积分，简化二重积分的二次运算； 学习绘制和阅读图表，并注意积分极限的正确表示。 学会灵活运用直角坐标和极坐标二重积分的相互变换。 10 2、使用极坐标积分时，要注意变换公式，同时要注意面积元素的正确表示和不同类型积分公式的正确使用。 3、下面两种情况简单用极坐标来计算。 (1)当积分区域为圆域或圆域的一部分，或者积分区域的边界用极坐标表示时比较简单； 后记：存在问题：二次累积积分无法正确表达； 直角坐标和极坐标二重积分无法正确相互转换； 积分极限不能正确书写。 有很多计算错误。 11