高等数学、常微分方程、差分方程的计算方法

常微分方程和微分方程是接近现实、常用于解决实际问题的数学模型。 然而，真正能够获得通解的微分方程相对有限。 只有符合某些特定结构的微分方程才能得到解析通解。 更多 无法求解微分方程的初等函数的解的描述形式。

本文将以实例的形式介绍高等数学和常微分方程课程中常用的一些微分方程和微分方程（递归序列）的通解和特解的计算方法，以及性质的描述形式的解决方案。 求出所需的通解和特解，并确定方程的类型和方程的分类。 同时，解曲线的行为将以图形方式展示。

目录：

特别提醒：如果您使用网页版进行操作，无需下载或安装任何软件，也无需点击任何链接。 您可以直接在网页打开的搜索文本编辑框（如下图）中输入表达式！ 除了系列推文中特别强调之外，显示的结果都是可以直接看到的！

1.一阶微分方程通解和特解的计算

例1 求下列微分方程的通解

参考输入表达式为

y'=(1+y^2)e^x

计算结果不仅表明该方程是一个可分离变量的微分方程（ ），而且是一个一阶非线性微分方程。 同时给出了通解表达式和线元域描述形式。 最后给出了特殊的积分曲线和积分曲线族的解。 结果显示页面如下。

例2 求下列微分方程的具体解

参考输入表达式为

(x^3+y^3)dx-(3x y^2)dy=0,y(1)=1

计算结果表明，微分方程是伯努利微分方程，也是齐次方程。 属于一阶非线性微分方程。 对于指定类型，给出了相应类型方程的标准结构描述形式。 最后给出如下： 特殊解函数表达式等一些信息，部分结果如下所示。

例3 求下列微分方程的通解

引用输入的表达式可以是

x dy/dx=x^2+3y,y(1)=0

然而，更合适的方式是

x y'=x^2+3y,y(1)=0

这样显示的结果就比较清晰了。 计算结果表明，该微分方程是一阶线性常微分方程，并给出了其通解表达式。 如下图所示。

【注】对于微分方程的通解，一般写成显式函数的表达式。 为了从隐式通解求解自变量函数表达式，有时求解函数表达式可能会更复杂。

2.高阶微分方程通解和特解的计算

例1 求下列微分方程的通解

参考输入表达式为

x y y''+x (y')^2=3y y'

这是改变元素后可简化的微分方程。 执行计算后得到的结果如下所示。

例2 求下列微分方程的通解

参考输入表达式为

x y''-y'-(x-1)y=0

计算后得到的结果表明该方程为Sturm-（Sturm-方程），也是一个二阶线性常微分方程，然后显示其通解等信息。 如下图所示。

例3 解决以下初值问题：

参考输入表达式为

y''+2y'+5y=e^(-x) cosx,y(0)=0,y'(0)=0

执行计算后得到的结果如下所示。

【注】对于通解位置的【逐步解题】，如果您是正式注册用户，点击链接会显示如下解题过程，也可以说是通解思路的推导过程求解非齐次常系数线性微分方程。

例4 求下列微分方程的通解

参考输入表达式为

x^3 y'''+x^2 y''-4x y'=3x^2

计算结果表明，该方程为欧拉方程（Euler- ），也是一个三阶线性常微分方程。 计算结果如下

结果中的任意常数都是复数的组合，可以直接用任意常数替换，即可以

结果必须直接手工计算。

例5 求下列微分方程组的通解

参考输入表达式为

x'(t)-3x+2y'(t)+4y=2sint,2x'(t)+2x+y'(t)-y=cost

执行计算后得到的结果如下所示。

3.递归序列的一般解和特殊解（差分方程）

例1 求由下列递归公式确定的序列的通项公式

参考输入表达式为

a(n + 2) - 5a(n + 1)+ 6a(n)=n

执行计算后得到的结果如下所示。

如果最后加上初值条件 ，即输入

a(n + 2) - 5a(n + 1)+ 6a(n)=n,a(0)=1,a(1)=3

那么我们得到具体的通式为

例2 求由下列递推公式确定的通项公式

参考输入表达式为

y(n+1)=3y(n)/(1+y(n)+x(n)),x(n+1)=x(n)/(1+y(n)+x(n)),x(1)=1,y(1)=1

执行计算后得到的结果如下所示。

【注】求解微分方程一般式（递推序列）和初值已知的一般式的输入方法与微分方程基本相同。 参数n和最大参数的区别是阶数，确定任何常数只需要几个初始值。 例如，示例1是二阶的，因此需要两个初始值来确定两个任意常数。