（学习笔记）第五章：行列式

行列式应该是你在高中数学中接触过的东西，但本章将从更本质的角度来理解行列式。

行列式是方阵 A_{n\times n} 的独特性质。 它是一个值，表示为\det(A)=|A|=\begin{} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_ {1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n }\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{}. 具体数值请见下文。

首先，行列式的英文含义与中文含义有很大不同。 它的意思是“决定因素”，那么它应该决定某些属性。 事实上，它决定了矩阵A的解是否唯一。 如果行列式的值不为零，则原矩阵一定有唯一解，称为 。 另外，如果有无穷多个解或无解，则行列式的值为零，称为欠和过。 （引用原帖，如果想了解更多可以参考本书第一篇文章。）

中文的命名思路明显不同，在网上找不到统一的解释。 我粗浅的理解是，行列式是从它的一些性质出发的，主要是为了突出它的“行列操作不改变其值”的性质。

以下是行列式的求解性质

1. 二阶行列式

对于矩阵 A=\begin{} a&b\\c&d \end{}，其行列式为 ad-bc。 主对角线相乘，次对角线相减。

2.奇异矩阵的行列式为零（不可逆矩阵），可逆矩阵的行列式不为零。

例如\det(A)=\begin{} a&xa\\b&xb \end{}=0

二阶方阵的矩阵为A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{}d&-b\\-c&a \end{}=\frac{1} {\det A }\begin{}d&-b\\-c&a \end{}，如果行列式为0，则反演公式的分母为零。

3.单位矩阵的行列式为1

\det(I)=1

4. 对于R矩阵，其行列式是主元乘积。 （对角矩阵、三角矩阵也适用）

\det(R)=\begin{} a&\cdots&\cdots&\cdots\\ 0&b&\cdots&\cdots\\ 0&0&c&\cdots\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots \end{}=a\cdot b \cdot c\c点

这个性质实际上是前一个性质的推广，即如果某一行乘以t次，则行列式的值也乘以t。

5、行列式两行交换一次，值为负数。

\begin{}1&0\\0&1 \end{}=-\begin{}0&1\\1&0 \end{}

6. 对于置换矩阵P，如果第I行被交换奇数次，则\det(P)=-1，如果被交换偶数次，则\det(P)=1。

\begin{}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0 \end{}=-1，\begin{}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0 \end{}=1。

7.行变换不改变行列式的值

这个性质非常重要，因为可以得出\det A=\pm \det R，并且我们知道如何计算任意方阵的行列式：只需简化为行梯形形式，乘以主元元素，然后乘法 将行数的幂与-1交换就可以了。

8. 如果两行相等，则行列式为零（一行全零的矩阵的行列式为零）

括号中的性质可以从性质8导出。

9. 乘法可以拆分：|AB|=|A||B|

这个性质在证明时非常实用。

因此，逆矩阵的行列式积 (\det A )(\det A^{-1})=\det(AA^{-1})=\det I = 1，

因此\det A^{-1}=\frac{1}{\det A}。

10. 上述所有性质仍然适用于列运算，即 A 的转置行列式保持不变。

这就是我对“行列式”这个名字的理解的根源。 由此可知\det(A)=\det(A^T)。

缪尔，T.（1960）。 的顺序为 。 纽约：多佛。

，G.（2019）。 至（第五版）。

往期回顾：

Jerry：线性代数（15）标准正交基（基）和革兰氏正交化

Jerry：线性代数（14）最小二乘法

Jerry：线性代数（13）投影

Jerry：线性代数（十二）四个子空间的正交性

Jerry：线性代数（11）四个子空间的维数

Jerry：线性代数完全解法（10）Ax=b

欢迎订阅我的专栏，复习线性代数和微积分。