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希帕恰斯的岁差与平面三角形的异同?

墨涅拉俄斯(),有时被称为墨涅拉俄斯(),生活在公元一世纪。

他的经验不像其他数学家那样有详细的记录。 托勒密在他的《天文学》中记录了墨涅拉俄斯在公元 98 年的两次天文观测。 古希腊传记作家普鲁塔克(《希腊与罗马的名人》作者)在书中描述了公元75年墨涅拉俄斯等人在罗马城的一次对话。 后人帕普斯和普鲁塔克称他为亚历山大的墨涅拉俄斯。

希腊的亚历山大于公元前146年被罗马人占领。 古希腊学者虽然不断研究,但已经失去了祖先的雄伟和不屈不挠的精神,比如毕达哥拉斯或欧几里得等,随着他的创造精神,大家把兴趣转向天文学,理论几何慢慢衰落。

上一篇文章介绍过的喜帕恰斯出生于公元前200年。 他创造了三角学这个词。 200多年后,墨涅拉俄斯将三角学发展到了顶峰,使三角学从天文学中分离出来,成为一门独立的学科。

在接下来的几十年里,托勒密将三角学发展到了极致,并在一千多年中保持不变。 之后,两三百年后的数学家帕普斯总结了前人的研究,写出了《数学宝典》。

在天文学上取得巨大成就的墨涅拉俄斯证实了喜帕恰斯进动现象的存在,并可能编制了星表,他在帕普斯的书中提到过。

在墨涅拉俄斯的众多著作中,只有《球体学》以阿拉伯译本的形式流传下来。 此后出现了各种修订版本,著名的曼苏尔修订版现藏于莱顿大学图书馆。

《球体学》一书由三卷组成。 第一卷主要比较了球体和平面三角形的异同。 第二卷主要提出了一些对天文学有用的命题。 第 3 卷开始正式讨论球面三角学。 第一个命题是球面的“墨涅劳斯定理”。 现在平面几何和射影几何中都有平面的“梅内劳斯定理”,俗称“梅内劳斯定理”。

这个定理不是梅发明的,因为他在书中使用了它,并且他证明的是一个概括。 当时还没有三角函数,只有喜帕恰斯的和弦表,所以他用弦长来表示。 由于后人不知道平面情况的由来,所以统称为“墨涅拉俄斯定理”,因为它与六个数量有关,所以在中世纪常被称为“六数量定律”。

我们不讨论球面三角形定理,而是讨论平面三角形的墨涅劳斯定理。

内容如下:

如果将直线和三角形ABC的三边或其延长线分别与点D、E、F进行比较,则:

AD·BF·CE=DB·CF·EA

也可以写成其他形式:

直线 DEF 称为梅线。 五月线也可以完全位于三角形之外,三个交点位于延长线上。

这个定理可以用来计算三角形中线段的比例,以及各种证明。 类似的定理是 Ceva 定理。

墨涅拉俄斯定理的逆命题也成立。

逆定理:D、E、F分别是三角形或其延长线上的一点,当

或AD·BF·CE=DB·CF·EA

当它成立时,则DEF的三点共线。

我们知道平面几何会有关于证明共循环和共线性的问题。 这个定理对于证明三点共线非常有用。 帕普斯定理、开角定理等也很有用。

梅氏定理这个公式怎么记住? 这很简单。

如果按照ABC的顺序写,就是从一条边的某个顶点A(B,C)到线上的交点D(E,F),交点D(E,F)到另一条边的线段顶点B(C,A)线段,记住:顶点1到交点再回到顶点2,然后从顶点2到交点再回到顶点3,从顶点3到交点再回到顶点1.

回到图中,就是:顶点A到交点D的线段AD与D到顶点B的线段DB的比值,

从顶点 B 到交点 E 的线段 BE 比从 E 到顶点 C 的线段 EC 更好。

从顶点 C 到交点 F 的线段 CF 比从 F 到顶点 A 的线段 FA 更好。

这是成比例的。

从顶点到交点,再回到顶点,你会发现分子中的三个线段之间没有公共端点,分母中的三个线段之间也没有公共端点。

还有同样的身影,

可以看作直线DEF与三角形ABC三边的三个交点,

同时也可以看作直线ADB与三角形EFC三边的交点,可得:

EA·CB·FD=AC·BF·DE

也可以看成直线FBC与三角形ADE的三边的交点,可得:

AB·DF·EC=BD·FE·CA

也可以看成直线AEC与三角形FBD三边的交点,可得:

BA·DE·FC=AD·EF·CB

这个公式人人都可以用,大家要灵活应用。

考试时可以直接使用选择题和填空的方法,但对于大题可以先作答,然后参考正确答案,然后再回到常规解答。