（知识点）数值计算研究的基本内容与基本策略

例子。 秦九少算法

3.数值计算的一般策略是简单的（如多项式、正定矩阵）代替复杂的数学运算、非线性问题的线性优化（如求解非线性方程）、低阶替换高阶（如变换方程组、降维）和有限维替换。 无限维空间（如微分方程中用有限和代替积分或无穷级数、用差商代替导数） 4.数值计算中的误差 误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（数值方法的逼近引起的，也有称为方法误差）、舍入误差（舍入引起的）误差（error）：绝对误差、相对误差（未知真值、近似替换）误差传播

补充1.浮点数

计算机中的存储格式（32位）

补充2. 有效数字

有效数量( )

示例1 绝对误差限

为了使x=\sqrt{2}的近似值x^*的绝对误差极限小于10^{-5}； 应该学多少有效的数学？

因为\sqrt{2}\.4\dots，我们可以得到m=1，并且|x^*-x|\leq \frac{1}{2}\^{1-n}\leq10^{-5 } ，解为n=6，即取6位有效数字。

示例 2 避免两个相似的数字相减

求方程 x^2-64x+1=0 的两个根，使它们至少有四位有效数字。

(\sqrt{1023}\.984)

根据根公式，我们有 x_1=32+\sqrt{1023}\ 63.984

如果我们用求根公式求x_2=32-\sqrt{1023}\.016，只有两位有效数字，不一致

根据Vieta定理，x_2=\frac{1}{x_1}\.01563，有效数字有四位

5.数值稳定性和病理性问题 减少计算误差：控制计算误差的扩散（避免相近数相减、绝对值太小不能做除数、避免大数吃小数） 算法稳定性：计算结果受误差影响比较小（注意收敛速度，控制计算次数）病态问题和条件数：如果已知条件存在很小的扰动，解就会有很大不同。 6.范数1，向量范数

范数是向量和矩阵的度量。 只要满足以下三个条件就可以定义范数。

对于任意向量 x\in \{R}^n，对应于非负实数 ||x||，满足

(1) 非负性： \vert\vert x\vert\vert\geq0 且 ||x||=0 当且仅当 x=0

（2）同质性：||\alpha x||=|\alpha|\cdot||x||

(3) 三角不等式：||x+y||\leq||x||+||y||

共同规范

三个范数缩写为： ||A||_v=(\sum_{i=1}^n|a_{i}|^v)^{\frac{1}{v}}

向量范数的等价

有限维线性空间 \{R}^n 中向量范数的定义都是等价的，即如果 ||x||_s,||x||_t 是 \{R}^n 上的两个不同范数 定义，那么必须有常数0">c_1,c_2>0，这样对于所有x\in \{R}^n，有c_1 ||x||_s\leq||x||_t\leq c_2| | x||_s

2. 矩阵范数

矩阵范数的定义如下：

如果非负实函数 N(A)=||A|| 矩阵 A=(a_{ij})\in\{R}^{n\times n} 满足以下条件：

(1) 非负性： \vert\vert A\vert\vert\geq0 且 ||A||=0 当且仅当 A=0

（2）同质性：||\alpha A||=|\alpha|\cdot||A|| ( \ \alpha\in\{R} )

(3) 三角不等式：||A+B||\leq||A||+||B|| (\ A,B\in\{R}^{n\times n})

(4) 乘法不等式： ||AB||\leq||A||\cdot||B||(\ A,B\in\{R}^{n\times n})

如果向量满足兼容性条件 ( ||Ax||\leq||A||||x|| )，则它是矩阵的算子范数

假设 x\in \{R}^n,A\in\{R}^{n\times n} ，给出向量范数 ||x||_v，相应地，定义矩阵 || 的非负函数x||_v=\max_{x\neq 0}\frac{||Ax||_v}{||x||_v} 称为因向量的范数，或矩阵数的算子范数

常用矩阵范数

光谱半径

与谱半径相关的定理

如果||\cdot|| 是属于向量的矩阵范数，则谱半径 \rho(A)\leq||A||(\ A\in \{R}^{n\times n}) 如果 A \in\{R} ^{n\times n} 是对称矩阵，则 ||A||_2=\rho(A) 设 B\in\{R}^{n\times n}，如果 ||B || ，则 I\pm B 是非奇异矩阵，且 ||(IB)^{-1}||\leq\frac{1}{1-||B||} ，其中 ||\cdot|| 是矩阵的算子范数7.误差分析/条件数

病态方程

扰动对解的影响

条件数的属性

手术

(1)2、3、6

(2) 1

(1) 9

(2) 3

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认为： ||A||_\infty=\max_{||x||_{\infty}=1}||A\{x}||_\infty ， ||A||_1=\max_{ ||x||_{1}=1}||A\{x}||_1 , ||A||_2^2=\max_{||x||_{2}=1}||A \{x}||_2^2

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