会计从业资格考试：等差数列的前n项和例题解析

2、a7+ a9 = 5al + 20d =125，解为a1=113，d=- 22。其通式为an=113+ (n -1) - ( -22)=-22n+135.a6=22X6+ 135 =3 表示上面给出的解是先找到基本元素a1和d，然后再找到其他元素。 这种先找到基本元素，然后用它们组成其他元素的方法是经常使用的方法。 在本课中，如果您注意到 a6 = ai + 5d，则无需找到 an。 而是 - 2a1 + 9d = 28，直接去找a6就可以了。 将列出的方程化简后，减去1即可得到a1 + 5d = 3，a1 + 4d = 25，即a6 = 3。可见，做题时一定要注意操作的合理性。 当然，要做到这一点，你必须使用这些知识

3、熟练是前提。 【例2】两个等差数列2,5,8,,197和2,7,12,,197，求它们相同项的和。 解由下式给出： 一个序列的通项是 an = 3n1； 第二个序列的通项为bN = 5Nk 3如果am= bN，则3n-1 = 5NI- 3即n=N+g) 3如果满足n，则为正 整数必须有N= 3k+1 (k是一个非负整数）。 还有2W5N 3W197，也就是1WN

4.-+c=2500，U a、b、c的值分别为A.1、3、5 B.1、3、7C。 1、3、99D。 1, 3, 9 解 C 由 2b = a+ 5a b = 3a 和 14 =5a+3b 给出，a = 1, b = 3，第一项为 1，公差为 2pn(n 1) 且 Sn = na+ 2-dn(n 1) 2500= n+ - 2 = 50 2 a50=c=1 + (50 1) - 2=99a = 1, b=3, c= 99 【例4】在1和2之间插入2n个数字构成第一项为1，最后一项为2的等差数列。若数列前半部分之和与后半部分之和的比值为9:13，求插入数的个数。 根据题意解答 2= 1 + (

5. 2n + 2- 1) d 前半部分之和 Sn+1 = (n+1)+(n11nd 后半部分之和 S*+1 = (n+1) 2+%)n ( d) 由下式给出 我们知道有 nd(n 1)(10,000)(nnd 131)(20,000)nd291。 简化后，我们得到 -f nd 132 2。求解它，我们得到 nd =11。 由此，我们有 (2n +1)d=1- 11 由此，解为 d=-，将 11 插入到总共 10 个数字中。 [例5] 在等差数列an中，设前m项之和为Sm，各项之和为Sn，则S7Sn？ “n，求Sm+n..1.第一个解：Sm+n = (m + n)a1 + -(m+ n)(m+ n- 1)d1=(m + n)a 1 + (m + n 1)d 和 SmF Sn, m n11

6、Ma1 + 2 m(m 1)d = na1 + 2 n(n 1)dd 排序得到 (mn)a1 + (mn)(m + n 1) =0r1，即 (mn)a1 + - (m+ n 1)d = 0r -1 由m*n可知a1+2(m+n1)d= 0 Sm+n= 0 【例6】已知等差数列an，S3=21，S6= 64、求序列|an|的前n项 a1和d，然后判断数列前几项的正负，即可得到Tn。 解 假设公差为 d，由公式 Sn = n&+ n(; 1)d 或 3al + 3d

7. =21ba + 15d = 24. 求解方程组，可得： d= 2, a= 9., an=9 + (n 1)(n 2) = 2n+1111。 从 an = 2n+11>0，我们得到 n< = 5.5，因此序列 an 的前五项为正，其余项 n2n 为负。 序列 an 的前 n 项之和为： n(n 1)2Sn = 9n+2-(-2) = - n + 10n 当 nW 为 5 时，Tn=-n2+10n 当 n>6 时，Tn = S5+|Sn S5I =S5(Sn S5)=2S5-Sn。 Tn= 2(25+ 50) (n2+ 10n) = n2 10n+ 50 端口 Tn = - n2 + 10nn0 5 即 2nCN*n2T0n+50 n&

8.gt;6表明，根据序列an中的项的符号，|an|的前n项之和利用分类讨论的思想可以发现。 【例7】在等差数列an中，已知a6+a9+a12+a15=34，求前20项之和。 解是从a6 + ag + ai2 + a15 = 34，我们得到4ai +38d=34 和S20= 20al +20X 19 kd=20al+ 190d=5(4al+38d)=5X 34=170 族令 Q _ (a1 + a20 )20曰.S20 =2= 10(a1 + a20) 由​​等差数列的性质可得： a6+a15=a9+a12 = a1 +a20 a1 + a20=17S20=170 【例8】 可知算术数列 an 的公差为

9. 正数，且a3 -a7= 12，a4+a6= 4，求其前20项和& 0的值。 解1 假设等差数列an的公差为d，则d>0，则可得 (a1 + 2d)(a1+bd) = - 12a1 + 3d + a1 + 5d = - 4。由此，我们有 a1 = 2 4d。 代入，我们有 d2=4，然后从 d>0，我们得到 d = 2。 1 =-10 最后，根据等差数列的前 n 项和公式，可以得到 S20= 180。 由算术数列的性质可得解二：a4+a6=a3+a7，即a3+a7=4且a3-a7=12。根据吠陀定理：a3、a7是方程 x2 + 4x12 = 0。方程可得为 xi=6, x2 = 2: d &g

10. t;0.aa 是递增序​​列。 a3= 6, a7=2a7 a 3d = 2, a1 = i0, S20=i807 3 【例9】等差数列an和bn的前n项之和为Sn和Tn，SnT两项为今天的3n 1bi 。 交流电。 - 3200D。 - 30ia"c 这题的分析是连接bi00S-2nT;小。可以用等差数列的前n项和公式Sn=将前n项之和的值与解 1.Snn(aian), anbi bnn(bi bn)22n3n i,2ai00 = ai+ai99, 2bioo=bi + = 2xi99 =

11. 3Xi99+i299 的解 2 使用序列 an 作为算术序列的充要条件：Sn =an2 +bn。 Sl2n。 Tn 3n 1 可设 Sn = 2n2k，Tn = n(3n + 1)k22，其中 2(n 1) k"(3n 1)k(n 1)3(n 1)1k4n 2 2n 16n 2 3n 1,aw02X 100 1199. 100 1299 说明该解涉及序列an是等差序列Sn=an2+bn的充要条件，由Sc 2n可知，Sn与Tn之和是多少，正确的和是Sn=？ 2nk, Tn = (3n + 1)k, Tn 3n 1k 是常数，这是错误的 [例 10 回答下列问题:(1。

12.) 已知：等差数列命中22=3，06=17，求a9； （2）在19到89之间插入几个数字，使它们与这两个数字组成一个等差数列，并且这个数列中每一项的和为1350，求这些数字； (3)已知：在等差数列an中，a4+a6+a15+017=50，求S20； (4)已知：在等差数列an中，an=33 3n，求Sn的最大值。 分析及解 17 3(1)a 6 = a2 + (6 2)dd = - 54a9=a6 + (9 6)d= 17 + 31 ( 5) = 32(2 )ai=19, an+2=89 ,, +2= 1350- Sn+2(ai +an+2)(n +2)' n+ 2 = =25 n =

13. 2319 + +2 = a25 = a1 + 24d d = 不同，11，所以这些数字是 23 个数字，第一项为 21，最后一项为 1286，公差为 35。 1212(3) J a4 + a6 + ai5+ a17=50 并且因为它们的下标是 4+17 = 6+15=21 和 a4+ a17=a6+ a15=25。 (a1 + a20) = 210X(a4 a17) 250(4) van=33- 3n.*.a1 = 30(a +an) - nSn =n 2321 22(n 7)63-n2(63 3n)n23X 2128n 6 N，当n=10或n=11时，Sn取最大值165。 [实施例11]

14. 证明：前n项之和为4n2+3n的数列是算术证明。 假设该序列的第 n 项是 an，前 n 项的和是 Sn。 当n>2时，an=Sn-Sn-1.an=(4n2+3n) 4(n -1)2+3(n-1)=8n 1当n=1时，a1=S1=4 3=7从上面两种情况可以看出，对于所有自然数n，有an=8n1和an+i an= 8(n +1) 1 (8n 1)=8。 这个数列是一个等差数列，第一项为7，公差为8。注意，这里使用了“an=Sn Sn-”1“使用这个关系时，请注意，仅当nA2时成立。因为当n=1，Sn-1=S0，而Sq没有定义，因此，解题时，必须与上面的答案一样，只需加上n=即可。

15、时间1的情况。【例12】证明：序列an Sn = an2 + bn（a和b为常数）的前n项之和是该序列成为算术的充要条件顺序。 由 Sn = an2 + bn 证明，当 n>2 时，an = Sn-Sn-1=an2+ bn a(n 1)2 b(n 1)=2na b aa 1 S1 a + b。 2 对于任意n6N，an=2na+b aJeL an an-1 =2na+ (ba) 2(n - 1)a - b+ a=2a(常数)an 是一个算术数列。 如果 an 是算术数列，则 n(n 1)Sn = na1 +dn 12 (1 n) , n=d 。 2+ n(ad)d 2d=2n n(ai -)If =ai,bei 1J

16、a1 9 两个b，即212Sn=an2+bn 综上所述，Sn=an2+bn 是an构成等差数列的充要条件。 从这道题的结果可以得到如下结论：前n项之和序列Sn = an2 + bn + c是算术数列的充要条件是c = 0。事实上，假设序列为uQ，则： 充分性c = 0 Sn = an2 + bnu n 是一个算术序列。 必要性 属性un是一个算术数列Sn = an2 + bn c=0。 【例13】等差数列an的前n项之和为Sn=mi，前m项之和为Smj= n（m>n），求前mn+ n项和Sm+n解：假设 an 的公差 d 符合问题，则有 n(n 1) 而不是 Sn = na)+2-d = mm(m 1)Sm =

17. m&Hd;n2(mn)(mn 1) 一，得 (mn) - a1+ 2 - d = nm，即 a1 +Sm n(mn)(mn 1)(mn)a1 2 dm n 1( mn)(a1 - d)=(m+ n) 解 2 假设 Sx = Ax2 + Bx(x 6 N)Am 2+ Bm= nAn2+ Bn= m 一，我们得到 A(m2 n2) + B(mn) = nm ：n。 A( m + n) + B= 1，所以A(m+ n)2+ B(m+ n) = (m+ n)，即Sm+r (m+ n)表明a 1、d为基本元素等差数列的问题，通常是先求基本元素，然后再解其他题，但这题的关键是求a1+ mn 1d

18.=-1。 这种假设而不求解2的“整体”思想，在解决相关序列问题时值得借鉴。 在第二种解中，由于是等差数列，因此从例22可以假设Sx＝Ax2+Bx。 (x6 N) [例 14 在一个有 2n 项的算术数列中，奇数项之和为 75，偶数项之和为 90，最后一项与第一项之差为 27，则该值共有多少个？ 解：$偶项-S 奇项=nd.nd=90 75=15 且a2n a1 = 27，即(2n 1)d=27nd = 15 n = 5(2n- 1)d= 27 【例15在算术数列an中，已知a1=25，S9=S17，问数列的第几项之和最大，求最大值。 方案一：建立Sn关于n的函数，运用函数思想，求最大值。 根据问题的意思：S

19. 17=17a1+2d，S9=9a1+2-d。 a1=25, S17= S9 解为 d= - 2Sn = 25n+ n(n2 1)(-2) = -n2+ 26n = - (n-13 )2 + 169 当 n=13 时，Sn 最大，最大值S13=169 解2 因为a1=25>0，所以d=20，可解出n.an+1 W +d= 17X25+d，解为d=222.二a.=25+ (n 1)( 2)= 2n+ 27-2n+ 27 >0n

20. ;0n>12.5 表示前13项之和最大。 由等差数列前n项的和公式可得S13＝169。 解决方案3使用S9=S17来查找相邻项之间的关系。 从问题 *=7 的意义，我们得到 a0+ a1 + a2+ 17=0 和 a10+ a17=a11 + a16=12+ 15=13+ a14 a13+a14=0, a13= a14 ., a13A0, a 140 。 S13=169为最大值。 解4是根据算术数列前n项之和的函数图像确定取最大值时的n。 an 是算术序列。 可以假设Sn=An2+Bn二次函数y=Ax2+Bx的图像经过原点，如图3所示。2-1可知，S9=S17，对称轴x=9+17=13 2当n=13时，S13=169，最大a1=25，S9=S17