chanong 1. 填空
1. τ(2420)=27;?(2420)=_880_
2. 假设a和n是大于1的整数。如果an-1是素数，则a=_2。
3. 模块9的定最小最小残差系统为_{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}。
4. 同余方程 9x+12−0(mod37) 的解为 x−11(mod37)。
5、不定方程18x-23y=100的通解为x=900+23t，y=700+18tt∈Z。 。
6. 分母为正整数m的约化真分数的个数为_?(m)_。
9. 如果 p 是素数，则同余方程 xp-1eq1(modp) 的解数为 2。 计算问题
1. 求解同余方程：3x2+11x-20≡0()。
解：因为105=3?5?7，
同余方程 3x2+11x-(mod3) 的解为 xeq1(mod3)，
同余方程 3x2+11x-(mod5) 的解为 ,3(mod5)，
同余方程 3x2+11x-(mod7) 的解为 xeq2,6(mod7)，
因此，原同余方程有4个解。
构建同余方程组：(mod3), xeqb2(mod5), xeqb3(mod7),
其中，b1=1，b2=0, 3，b3=2, 6，
根据子定理，原同余方程的解为x=13,55,58,100()。
2. 推断同余方程 x2≡42() 有解吗？
)(=∴-=-=-==-=-=-==??==-?--?-)()()()(),()()()(),()() )()((
) (解：因此，同余方程 () 有解。
3. 求 (+34) 28 除以 111 的最小非负余数。
解：易知1271=50()。
由 502 eq 58()、503 eq 58 × 50 eq 14()、509 eq 143 eq 80() 可知 5028 eq(509)3 × 50 eq 803 × 50 eq 803 × 50 eq 68 × 50 eq 70()
因此5056=16()。
因此 (+34)28=(16+34)28=5028=70()
3.确认问题
1、已知p是素数，(a,p)=1，确认：
(1)当a为奇数时，ap-1+(p-1)a≠0(modp)；
(2)当a为偶数时，ap-1-(p-1)a≠0(modp)。
证实：根据欧拉定理，ap-1eq1(modp)和(p-1)aeq-1(modp)成立(1)和(2)。
2. 假设a为正奇数，n为正整数。 验证 n2a=1(mod2n+2)。 (1)
确认假设a=2m+1，当n=1时，有
a2=(2m+1)2=4m(m+1)+1≡1(mod23)，即原公式成立。
假设原公式n=k成立，则有ka
2≡1(mod2k+2)?ka2=1+q2k+2，其中 q∈Z，所以 12+ka=(1+q2k+2)2=1+q'2k+3≡1(mod2k+3) ,
其中 q' 是某个整数。 这表明当n=k+1时方程(1)也成立。
通过归纳，我们知道原公式对于所有正整数n都成立。
3. 假设p是素数，且1≤k≤p-1。 已确认：k
p1C-≡(-1)k(modp)。
确认：设A=！
)()2(
p=-) (得到: k!·A=(p-1)(p-2)…(pk)≡(-1)(-2)…(-k)(modp)
并且 (k!, p) = 1，因此 A = k
p1C-≡(-1)k(modp)
4. 假设p是奇素数，不等于3和7。确认：p6eq1(mod84)。
解释：由于84=4×3×7，我们只需确认：
(mod4)(mod3)(mod7)可以同时完成。确认：由于84=4×3×7且p是不等于3的奇素数且7、所以
(p, 4) = 1, (p, 3) = 1, (p, 7) = 1。
根据欧拉定理：p?(4)eq=p2=1(mod4)，所以p6=1(mod4)。
同理可证明：p6=1(mod3)p6=1(mod7)。 因此，p6=1(mod84)。
注：假设p是奇素数，不等于3和7，则确认：p6eq1()。 （参见济源p86）
初等数论练习2
1. 填空
1. τ(1000)=_16_; （除数函数：因子的个数）σ(1000)=。 （求和函数：所有因素的总和）
2、在2022！的正则分解公式中，素数11的次数为199__。
3. ()数指的是Fn=n
22+1，此类数的最小合数Fn中n=5。 4. 同余方程 (mod31) 的解为 (mod31)___
5. 分母不大于m的约化真分数的个数为?(2)+?(3)+…+?(m)。
6. 假设7∣(80n-1)，则最小正整数n=_6__。
7. 41x+15y=C无非负整数解的最大正整数C=。
???10146=_1__.9。 如果 p 是质数 n|p-1，则同余方程 (modp) 的解数为 n。
2. 计算题
1. 求 2 除以 19 的余数。
解：从 2022−7(mod19)20222−11(mod19)20223−1(mod19)
又由 χ(22)(mod3) 可以得到：
2=+1=(20223)n×2022=7(mod19)
2. 求解同余方程 3x14+4x10+6x-18≡0 (mod5)。
解：根据定理，x5=x(mod5)，因此，原同余方程等价于2x2+x-3=0(mod5)。 将x=0,±1,±2(mod5)代入上式进行验证。 ，可以看出这个同余方程的解为x≡1(mod
5）。
3. 给定 a=5 和 m=21，找到使 (modm) 成立的最小自然数 x。
解：由于(5, 21) = 1，由欧拉定理可知5?(21)≡1(mod21)。
又因为 ?(21)=12，所以 x|12，12 的所有正因子都是 1, 2, 3, 4, 6, 12。
所以 x 应该是使 5x^1 (mod12) 成立的最小数。 经过计算，我们知道：x=6。
3.确认问题
1、试验验证13|(54m+46n+2000)。 （温馨提示：模13可用于计算验证）
已确认：54m+46n++642n+(-1)2m+(-1)2n+(mod13)。
2. 确认定理的逆定理：若n>1，且(n-1)! ≡-1(modn)，则n为素数。
确认：假设n是合数，即n=n1n2,11，且(n-1)!+1≡0(modn)，则n是素数。
6. 3103除以11得到的余数是_5_。
???9760=_-1_.3。 计算题
1. 判断(i) 2x3-x2+3x-1≡0 (mod5)是否有三个解；
(ii)x6+2x5-4x2+3≡0(mod5) 有六个解吗？
解： (i) 2x3-x2+3x-1≡0(mod5) 等价于 x3-3x2+4x-3≡0(mod5)，且 x5-x=(x3-3x2+4x-3)(x2+ 3x) +5)+(6x2-12x+15)，其中并非 r(x)=6x2-12x+15 的所有系数都是
是5的倍数，所以原方程没有三个解。
(ii) 由于这是一个模 5 的同余方程，因此原方程不能有六个解。
2. 假设n为正整数，求,,C,C-nn
nn 的最大公约数。 解：假设)C,,C,(C=+++=,由此可知d∣22n-1,
假设2k|n和2k+1|/n，即2k+1||n，
然后从2k+1|||--+=
n 和 i=3, 5,, 2n-1，我们得到 d=2k+1。
3. 给定 a=18 和 m=77，找到使 (modm) 为真的最小自然数 x。
解：由于(18,77)=1，所以有欧拉定理18?(77)≡1(mod77)。
又因为 ?(77)=60，所以 x|60，而 60 的所有正因数为 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60。
因此，x 应该是使 18x≡1 (mod77) 成立的最小数。 经过计算，我们知道：x=30。
4. 确认问题
1、若素数p≥5，且2p+1是素数，证明：4p+1一定是合数。
确认：由于素数p≥5，(3,p)=1，可以设p=3k+1或p=3k+2。
当p=3k+1时，2p+1=6k+3是合数，与问题假设冲突，所以p=3k+2，
此时，2p+1是6k+5形式的素数，4p+1=12k+9=3(4k+3)是合数。
注：p=6k+r，也可设置r=0,1,2,3,4,5。 重新分类研究。
2. 假设p和q是两个大于3的素数。确认：p2eq2(mod24)。
确认：由于24=3×8，(3,8)=1，我们只需确认：
p2=q2(mod3) p2=q2(mod8) 同时成立。
事实上，因为(p, 3) = 1，(q, 3) = 1，所以p2eq1(mod3)，q2eq1(mod3)，
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