chanong 注：本稿件是2018年11月至12月北京联校数学建模活动项目研究阶段朱浩南老师每天向各课题组发布的研究方法指导文件的总结。为了方便更多的同学参考使用，现调整为正确顺序并通过遇见数学公众号发布。 版权归朱老师和遇见数学公众号所有。
研究方法指导：从高中数学了解数学概述和数学建模
新课程标准中，将数学建模作为数学学科六大核心能力之一引入，并以此为线索贯穿于必修、选修必修和选修课程中。 目的是让大家通过数学建模的学习了解数学学科和学科。 对数学在其他学科和领域的应用有一个概述、基本和科学的认识。 今天我们就结合之前研究方法指导的内容，将高中数学的各个部分以及它们在数学建模过程中的作用联系起来，以造福于同学们。
在高中，每个人首先了解集合。 什么是集合？ 集合是一种数学语言，它将具有某些特征的事物组合在一起作为一个大类别。 为什么收藏如此重要？ 因为在藏品出现之前，人们只能粗略地说“把这些东西放在一起”，这是不严谨的，因为不清楚是多放还是少放，是包含还是不包含在内。 有了藏品，就有了客观存在的研究对象。 集合公理要求一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，并且没有歧义。 有些同学可能听说过理发师的集合悖论。 和集合没有关系。 相关的数学概念称为“类”。 类是一个比集合更抽象、更广泛的概念。
因此，集合可以看作是研究事物的语言和逻辑准备——如果所研究的事物不是逻辑上严密的、客观存在的，那么后面的一切推演都将毫无价值，因为从逻辑上来说“空集可以推论出一切真”。 “或者假的东西”（可以通过反证法来证明）。
有了一个集合，也就是一个研究对象，就需要在它们之间建立一些关联和操作。 这与人与人、人与自然的互动是一样的。 只有在互动中我们才能感受到对方的存在，也才能激发对各自属性的感受。 例如：如果我们想用眼睛看到一个物体，我们需要光线被物体反射并传输到视网膜。 但我们也要避免一些“异常互动”。 例如：当我们看一个物体时，很多物体看起来可能是一样的，比如生鸡蛋和煮鸡蛋，但一个鸡蛋不可能既是生鸡蛋又是煮鸡蛋。
集合之间的合理关联和相互作用称为映射。 我们规定不能是一对多，因为我们害怕形而上学。
映射中有两个非常重要的概念，一是“内射”，二是“满射”。 单射意味着两个事物不能映射到同一事物。 满射意味着目标集中的所有内容都是映射图像。 数学家努力直观地理解这两个概念。 事实上，单射是“非粘着”映射，满射是“非撕裂”映射。 如果两个集合之间存在既不粘也不撕裂的映射，那么这两个集合（作为集合）被认为是等价的，因为其中的元素可以一一对应，所以它们既是简单的又是完整的映射也称为双射或 1-1 映射。 一个著名的例子是有理数集合和正整数集合之间的 1-1 映射。
四种不同情况的对比（图片来自Wiki）
但我们显然知道有理数集合和正整数集合是不同的，所以1-1映射的两个集合不一定是同一个东西。 但需要注意的是，仅仅从集合的角度是无法区分它们的。 我们所说的“有理数集合和正整数集合看起来不一样”，其实是因为我们考虑了有理数集合和正整数集合中的“运算”。 最基本的是加、减、乘、除。 所以，计算的引入，其实是帮助我们更详细地分析事物，而不仅仅是1-1是否对应这个层面。
操作实际上是一种映射。 比如我们常说的整数的加法运算，就是一个整数集合与一个整数集合的笛卡尔积到一个整数集合的映射。 这里出现了一个概念——笛卡尔积。 平坦欧几里德空间是满足欧几里德距离公理的两组实数之间的笛卡尔积。 从这个层面上，我们可以理解笛卡尔作为一位伟大哲学家对数学的贡献。 不要以为笛卡尔的贡献只是提出了平面直角坐标系。 在笛卡尔的平衡中，一切都可以互相借用。 他创建的精致结构和映射是构建操作的强大工具。 这就是现代代数的雏形。
我们最常见的函数是指从一个数集到另一个数集的映射。 高中考试中经常会考到带有解析表达式的函数，但是我们要知道，大多数函数是没有解析表达式的，只有对应关系。 在具有解析表达式的函数中，有几个函数是最基本的，即幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数函数。 这五个函数称为“基本初等函数”。 所谓能写出解析表达式的函数，实际上是整体或分段地表示为基本初等函数的拉伸、平移、折叠，以及基本函数的加、减、乘、除、复合等。 从这个角度来看，基本初等函数是函数大厦中的砖块，而“伸、平移、折叠、加、减、乘、除、复合”则是砖块之间的粘合剂。 他们共同建造了一座巨大的摩天大楼。
有一些函数不能用基本初等函数通过上述“拉伸、平移、折叠、加、减、乘、除、复合”来表达，但可以用基本初等函数的“极限”来表达。 因此，“极限”就成为一种有别于通常的初等操作系统的“高级”操作。 涉及极限的数学被称为“高等数学”。 极限作为一种想法很早就出现了，可能是从人类开始能够想象未来开始。 但极限的概念只有在欧拉和魏尔斯特拉斯等数学家的努力之后才成为真正严格的逻辑严密体系。 他们用自己惊人的洞察力和语言天赋，创造了一种简洁、优雅、准确的符号系统，在有限的考察中蕴藏着对无限的观察，为人们所津津乐道。
函数有图像——这也是笛卡尔的功劳。 人们可以把自变量和因变量放在两个集合的笛卡尔积中去观察和体验——观察函数的图像，无论是计算机还是人类，理论上都无法连续观察每个点，只能观察其上的多个离散点- 用笔在纸上画出看起来平滑的线条，然后用显微镜将其放大。 达到一定的精度后，墨水仍然会开始出现断断续续的情况。 ——所以人类计算系统通过截取其上的多个值来观察连续函数，这也是一个序列。 在古代，人们开始用数字序列来记录历法，这实际上是对连续时间变化的离散观察。
但这种离散性是惊人的，并且给序列带来了一种非常独特的方法——递归。 函数也可以实现递归，但它们通常更复杂，并且涉及向量场和不动点理论。 序列的递归要简单得多，因此在高中课程中进行了讨论。 不过现在序列递归已经基本被删除了，北京高考考的学生也很少了。 这多少有些可惜。 在伟大数学家庞加莱看来，离散性和连续性是密不可分的，通过离散性来观察连续性很重要。 技巧并不逊色于用有限来观察无限的语言。
对于一个函数，如果它是光滑的，我们可以在它上得到许多切线方向。 这些切线方向具有大小。 幅值用来衡量函数因变量随自变量变化的速率，方向反映函数图像的趋势。 方向。 像这样既有大小又有方向的量就是向量。 矢量在同一类别中测量长度和角度，这是一个伟大的创造。
平滑函数图像的每个点都有一个切向量，其计算方法称为微分。 知道切向量就能恢复函数吗？ 答案是“部分是的”，但是因为向量具有平移不变量，如果想要恢复函数，就必须添加一个条件——给出函数图像上的一个点。 从已知的切向量恢复函数的过程称为不定积分，给出初值以进一步确定唯一函数的过程称为定积分。 著名的牛顿-莱布尼茨公式通过可变上限积分给出了两者之间的联系。
牛顿-莱布尼兹公式
如果您对微积分了解更多一点，您可能知道任何平滑函数在局部都非常接近某个多项式函数。 多项式函数是最流行的函数，因为它很容易微分，并且它的零点是多项式方程的解。 几个世纪以来，多项式方程一直是数学研究的热门话题，留下了大量的工具、结论和技术。 将函数本地化为多项式使这些历史宝藏变得可用。
因此，研究多项式函数非常重要。 高中主要涉及最高次数不超过3的一变量多项式函数，以及结构最漂亮的三类二元二次多项式函数。 双变量的二次多项式函数（非简并，即不可约）的零点是平面上的一条曲线，称为二次曲线，即椭圆、抛物线。 我希望你能理解为什么它们是高考的重点——因为它们在数学中确实极其重要。
从以上观点来看，解析几何是一种局部多项式化的一般几何。 这也是现代代数几何的雏形——局部多项式的零点通过拓扑方法粘贴在一起，成为一般几何。
将一般几何体的局部部分粘合成整体的另一种方法是使用三角形网格来划分几何体。 将光滑的几何形状变成类似于“多面体”的几何形状，这在工业上非常常用。 最大的优点是可以使用很多网格相关的技术，比如著名的“欧拉公式”，而且这样很容易离散化。 使用计算机来计算。 由于是三角剖分，所以每个小面都是三角形。 这样看来，求解三角形不仅是对古希腊平面几何公理的继承，也是现代工业技术的基石之一。
至于概率统计和立体几何，它们的重要性是不言而喻的，但这里我还是想说几句你们可能不太了解的方面。
从前面的回顾中我们可以看到，理解高中数学的一种方式是几何，这也是数学中的一种主流观察方法。 我理解，之所以采用这种观察方式，是因为几何有助于人们直观的想象，更容易找到问题的方向，而不是陷入琐碎的局部代数运算。
在工业界，甚至在理论物理或许多其他基础学科领域，每个人都喜欢进行几何观察。 例如，广义相对论依赖于黎曼几何，试图将整个宇宙的定律简化为某些几何规则。 关于这方面，有很多科普著作。 推荐大家读一下丘成桐先生的科普巨著《大宇宙的形状》。
但一旦我们想要检验一种自然现象是否符合数学几何模型，比如雪花的形状是否对称，就必须观察数据。 然而，自然观测获得的数据存在系统误差、自然环境随机干扰等随机误差。 扰动，因此不可能精确拟合数学模型。 那么我们需要分析：偏离数学模型的可能性有多大？ 如果偏差较大，是高概率事件还是低概率事件？ 这决定了你的模型是否经得起实践的检验。 分析方法是概率统计。
经过上世纪统计学领军人物CR Rao先生的努力，现代概率统计已经越来越几何化，很多问题从数学角度看甚至是纯粹的几何问题。 对于高中概率统计来说，它实际上与平面几何和立体几何密切相关。 即使是一些比较困难的线性规划问题，也可以通过增维和降维的技术转化为一些经典的立体几何问题。 因此，立体几何对于建立初等概率统计的几何直觉非常重要。 虽然现在普通班已经不讲授了，但至少知识框架还是保留下来的。 这还没有考虑到立体几何公理推导对学生思维品质训练的好处。
最后，希望通过今天的文章，让各位同学对高中数学有一个更加温暖的整体认识，从情感上接受“高中数学很有用”的事实，进而在接下来的学习中更加独立、更加优秀。
【遇见数学】李翔：朱浩楠老师将此系列献给所有正在参加MCM（美国数学竞赛）和即将参加IMMC（中国国际数学建模挑战赛）的同学们。 预祝大家在比赛中取得优异的成绩。 在此【相遇】我还要感谢朱浩南老师用自己的知识和经验帮助学生提高建模能力、数学素养和更广阔的学习视野。
另外，由于时间限制，整个系列还有很多需要改进的地方。 今后，【邂逅】将再次整理发布，敬请期待！
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