：股份有限公司2014年年度审计报告

x=π；  12 dx=2π。

-π-π-π

2. 以2π为周期的傅里叶级数函数

一个

定理：如果 0 +  (a cosnx + b sinnx) 在整个数轴上一致收敛于 f，则：

2n

n=1

11

a = π f(x)cosnx dx，b = π f(x)sinnx dx，n=1,2，…。

n n 

π -ππ -π

证明：由定理条件可知f(x)在[-π,π]上连续可积，

πa π  ππa

∴f(x)dx=0dx+=0·2π=aπ。

(a  + b  ) 0

-π2 -πn -πn -π2

n=11πa

即a = f(x)dx。 对于 f(x)= 0 +

0 (a cosnx + b sinnx)

π -π2 nn

n=1

两边同时乘以coskx（k为正整数），可得：



f(x)coskx= 0​​ coskx +  (a + b ) ，则新级数收敛，有

2n

n=1

πa π ππ

 f(x) coskx dx= 0  + ( a +  b dx) 。

-π2 -π-π n-π n

n=1

基于三个解函数的正交性，方程右侧除以=a为系数的项外的积分

ππ

除a cos 2 kx dx= a π 外，其他积分均为0，∴ f(x) coskx dx= a π，

kk

-π k-π

1πa

即a = f(x)coskx dx (k=1,2,…)。 同理，对于 f(x)= 0 +

k(a cosnx + b sinnx)

π-π2nn

n=1

两边同时乘以sinkx（k为正整数），可得：b =  π f(x)sinkx dx (k=1,2,…)。

π-π

概念3：若f是周期为2π且可积在[-π,π]上的函数，则根据定理

中得到的a和b称为函数f的傅立叶系数（关于三角函数系统）。 就 f 的傅里叶系数而言

n

一个

叶子系数为