群若S是一个刚性运动，它的任意两点距离不变

在数学中，代数结构由非空集合 A（称为基集）、A 上的一组运算（通常是加法和乘法等二元运算）和一组有限恒等式（称为公理）组成。 这些操作必须满足这些恒等式。

最好不要将数字视为单独的对象，而是将其视为数字系统的元素。 数字系统由对象（数字）和应用于它们的运算（例如加法和乘法）组成。 这样，数系就是一个代数结构。 然而，有许多重要的代数结构不是数系。

团体

如果S是一个几何图形，那么S上的刚性运动是一种移动S的方式，使得在这个运动过程中S的任意两点之间的距离保持不变（即不允许挤压和拉伸）。 如果 S 的形状在刚体运动后不发生变化，则称该刚体运动是 S 的对称性。例如，假设 S 是一个等边三角形，让 S 绕其中心旋转 120°。 这种旋转是对称的； S反映了穿过其一个顶点和该点对边的中点的直线，这也是对称性。 。

这个想法可以得到极大的推广：如果 S 是任何数学结构，则 S 的对称性是从 S 到自身的函数，它保留了该结构。 由于这种普遍性，对称性是一个在数学中无处不在的概念：对称性出现的地方，群的概念就会紧随其后。

为什么会发生这种情况？ 设f是一个等边三角形，顶点为A、B、C，边长为1。此时，f(A)、f(B)、f(C)就是这个三角形中的三个点。 这个三角形中任意两点之间的最远距离为1。不难看出，一旦选择了f(A)、f(B)、f(C)，则三角形内任意点的f值完全是决定。

让我们通过写出变换后 A、B、C 这三个点的顺序来记住这些对称性。 例如，对称 ACB 意味着保持 A 点静止并让 B 和 C 交换位置。 这种对称性可以通过在连接 A、B 和 C 的中点的线上反映三角形来获得。这样的对称性有三种：ACB、CBA、BAC 以及两种旋转 BCA 和 CAB。 最后，还有“平凡”对称性ABC，它使所有点都不可移动（这种“平凡”对称性的使用与整数加法代数中零的作用完全相同）。

这组对称性之所以成为群，是因为任何两个对称性都可以相互复合，这意味着一个对称性后面跟着另一个对称性将产生第三个对称性。 例如，如果您使用反射 ACB 跟随反射 BAC，则会得到旋转的 CAB。 但请注意，对称顺序是相关的：如果您先执行反射 ACB，然后执行 BAC，您将得到旋转的 BCA。

我们将对称本身视为一个“对象”。 将组合视为这些对象的代数运算，有点像数字的加法和乘法。 此操作具有以下有用的属性：

它是结合性的，平凡的对称性是恒等式，并且每个对称性都有一个逆元。

更一般地，任何具有上述性质的二元运算集合称为群。

这个运算是否可交换不是群定义的一部分，因为正如我们刚才所看到的，当两个对称性复合时，它会产生先到和后到的区别。 然而，如果这个二元运算是可交换的，那么该群就成为阿贝尔群。 数系Z、Q、R、C都是阿贝尔加法群，或者我们常说的，它们成为阿贝尔加法群。 如果Q、R、C去掉零，它们在乘法下也是阿贝尔群，但Z却不是，因为缺少逆元：整数的倒数，一般不是整数。

区域

在数学中，域是定义加法、减法、乘法和除法运算的集合，其行为类似于有理数和实数的相应运算。 因此，域是一种基本的代数结构，广泛应用于代数、数论和许多其他数学领域。 最著名的领域是有理数领域、实数领域和复数领域。 许多其他领域，例如有理函数领域、代数函数领域和代数数领域，都是数学中常用和研究的领域，特别是数论和代数几何。

两个域之间的关系由域扩展的概念来表示。 伽罗瓦理论，致力于理解域扩展的对称性。 这个理论表明，用圆规和尺子无法完成角的三部分之和以及圆的平方。 此外，结果表明五次方程通常是代数上不可解的。

域（Field）在交换环的基础上增加了二元运算除法，要求元素（除零之外）可除，即每个非零元素必须有一个乘法逆元。 可见，域是一种可以加、减、乘、除（0除外）的代数结构，是数域和四种算术运算的扩展。 整数集合不存在乘法逆元素（1/3 不是整数），因此整数集合不是域。

尽管多个数域都是群，但仅将它们视为群就忽略了它们代数结构的很大一部分。 特别是，该组中只有一个二元运算，但标准数系有两个，即加法和乘法（从中还可以得到其他附加运算，例如减法和除法）。 字段的正式定义很长，它是一个包含两个二元运算的集合，以及这些运算必须满足的几个公理。 有一个很好的方法来记住这些公理。 首先写出数系 Q、R 和 C 中加法和乘法所满足的性质。

这些属性如下：

这涵盖了加法和乘法各自具有的所有属性。 但在定义数学结构时，有一个非常普遍的原则：如果一个数学定义可以分为几个部分，那么除非这些部分能够相互作用，否则这个定义就没有意义。 加法和乘法是这两个部分，到目前为止提到的属性并没有以某种方式将它们联系起来。

列出这些性质后，我们可以抽象地看待整个情况，并将这些性质视为公理，所以我们说：一个域是一个具有两个二元运算的集合，并且这些运算需要符合所有上述公理。 然而，当我们在领域中工作时，我们通常不会将这些属性视为公理列表，而是将其视为允许我们在有理数、实数和复数领域进行所有代数运算的许可证。

显然，公理越多，找到满足它们的数学结构就越困难，并且遇到域比遇到群更不常见。 因此，理解该领域的最好方法可能是关注示例。 除了Q、R和C之外，还有一个字段跳出来，成为字段的基本示例。 它是整数 mod p（这里 p 是素数）的集合 F_p，其中加法和乘法都是 mod p。 界定。

一个领域之所以有意义，实际上并不是这些基本例子的存在，而是有一个与该领域相关的重要过程。 这个过程称为域扩展，它允许我们从原始域构造一个新域。 这里的思路是：首先有一个域F，找到一个多项式P，使其根不在F中，然后给F“附加”一个新元素，规定这个新元素是不在F中的P的根F。 。 使用此根和 F 中的元素通过所有可能的加法和乘法创建新公式。 这些公式构成了一个新的字段F'。 称为F的展开式。

我们来看一个域R.的展开过程的例子

R 中没有根，所以我们将 i 附加到 R 上，得到 a+bi 形式的所有公式，(a, b∈R)，从而得到复数域 C。

我们也可以将此过程应用于 F_3，其中 P(x)=x^2+1 也无根。 这样，也将获得一个新的域名。 和C一样，也是由a+bi组成的集合，但现在a和b都是F_3的元素。 由于 F_3 中只有 3 个元素，因此新字段现在只有 9 个元素。另一个例子是

这是

这样的一组数，a和b是有理数。

Q(γ) 是一个稍微复杂的例子，其中 γ 是多项式 x^3-x-1 的根。 该域的典型元素是 a+by+cγ^2 形式的表达式，其中 a、b 和 c 是有理数。 如果我们在 Q(γ) 中进行算术运算，当我们看到 γ^3 时，我们必须将其替换为 γ+1（因为 γ^3-γ-1=0），就像我们在复数域中看到 i^2 时一样我们需要将其替换为γ+1（因为γ^3-γ-1=0）与-1相同。 为什么域扩展很重要？ 稍后再讨论。

引入域的第二个非常值得注意的方面是它们可以用来形成向量空间。

向量空间

表示平面上的点的最方便的方法之一是使用笛卡尔坐标。 选择原点彼此成直角的方向 X、Y。 如果从原点出发，沿 X 方向移动距离 a，然后从该点继续沿 Y 方向移动距离 b，则 (a, b) 表示到达平面上的点。

同样的事情的另一种说法是：令x和y表示X和Y方向的单位向量，它们的笛卡尔坐标分别为(1, 0)和(0, 1)。 此时，平面上的每个点都是基向量x和y的线性组合ax + by。

这是发生线性组合的另一种情况。（线性）微分方程

知道 y=sinx 和 y=cosx 是两个可能的解，很容易验证对于任意数字 a 和 b，y=asinx+bcosx 也是一个解。 也就是说，现有解 sinx 和 cosx 的任何线性组合仍然是一个解。 原来所有的解都是这种形式，所以我们把sinx和cosx当作这个微分方程的解“空间”的“基向量”。

线性组合在数学中的许多情况下都会出现。再举一个例子，任何三次多项式的形式是

它是四个基多项式1、x、x^2、x^3的线性组合。

向量空间是一种数学结构，其中线性组合的概念有意义。 属于这个向量空间的对象通常称为向量，除非我们正在讨论一个特定的例子或将其视为一个具体的对象，例如多项式或线性微分方程的解。 更正式一点，向量空间是一个集合V，使得对于任意两个向量（即V的元素）w和w，以及任意两个实数a和b，可以形成它们的线性组合av+bw。

请注意，线性组合涉及两类不同的对象，一类是向量 v 和 w，另一类是数字 a 和 b。 后者称为标量。 构造线性组合的运算可以分为两个部分，即标量的加法和乘法。 为了构造av+bw，首先将向量v和w与标量a和b相乘，分别获得向量av和bw，然后将所得向量相加以获得完整的线性组合av+bw。

线性组合的定义必须遵循一些自然规则。 如果以下加法是可交换且结合的，则它们具有单位元（称为零向量）。 对于每个向量 v，必须有一个逆元素（表示为 -v）。 乘以标量也必须遵守一定的结合律，即 a(bv) 和 (ab)v 必须始终相等。 我们还需要两个分配律，即对于任意标量a、b和任意向量v、w，(a+b)g=av+bv，和a(v+w)=av+aw。

给定一个向量空间V，它的基无非是一组具有以下属性的向量：v_1，V_2，...，V_n，V的任何元素，即任何向量，都可以写成其中之一以一种独特的方式。 线性组合

可能有两种情况导致此失败：第一，可能存在一个向量无法写为v_1，V_2，...，V_n的线性组合； 其次，可能有一个向量可以写成这样的线性组合，但是有不止一种写法。 。 如果 V 的所有向量都可以写成 v_1, V_2,..., V_n 的线性组合，则称 v_1, V_2,..., V_n 跨越整个空间 V。如果没有向量可以写成线性将它们以多种方式组合，v_1，V_2，...，V_n 被称为独立。等效的定义是：v_1，V_2，...，V_n 是独立的。 如果零向量写成

唯一的办法就是采取

基数中元素的个数称为V的维数（简称维度）。 向量空间不会有两个不同大小的基并不明显，但可以证明不会有，所以维数的概念是有意义的。 对于平面来说，前面提到的向量x和y构成基，所以平面的维数是2。

最明显的n维向量空间就是n个实数组成的序列(x_1, x_2,..., x_n)的空间。如果要将序列(y_1, y_2,..., y_n)添加到只需构造序列(x_1+y_1, x_2+y_2,..., x_n＋y_n)即可。 要将其乘以标量 c，只需执行 (cx_1, cx_2,..., cx_n)，该向量空间可写为

基中向量的数量不一定是有限的。 没有有限基的向量空间被称为无限维。 许多最重要的向量空间，特别是那些“向量”是函数的向量空间，通常是无限维的。

关于标量的最后一点说明。 上面将标量定义为用于构造向量线性组合的实数。 真正重要的是它们必须属于一个域，因此 Q、R 和 C 都可以用作标量系统，而且实际上，也可以使用更通用的域。 如果向量空间 V 的标量来自域 F，则称向量空间 V 是域 F 上的向量空间。这种提升非常重要且有用。

戒指

另一个非常重要的代数结构是环。 环不像群、域或向量空间那样对数学至关重要。 粗略地说，环是一种代数结构，它具有域的几乎所有（但不是全部）属性。 特别是对于乘法运算，环并不像域那样严格。 最重要的放宽是环中的非零元素不要求有乘法逆元，有时环的乘法不一定是可交换的。 如果是，则该环称为交换环 - 交换环的一个典型示例是所有整数的集合 Z，另一个示例是在某个域 F 中具有系数的多项式集合。