chanong 1.抽象代数 1.1相关概念
数学的发展通常是从简单的数学开始，然后不断放宽限制并推广到更一般的数学。 从初等代数到抽象代数很好地说明了这一点。
(1)算术()
算术（）无疑是数学中最古老、最基本、最基本的部分。 算术是对数字的属性及其运算的研究。 通过积累和整理数字的应用经验、数字的性质以及数字之间的四种算术运算，最古老的数学形式——算术。 值得一提的是，算术运算不仅指加、减、乘、除，还包括百分比、平方根、指数和对数； 算法的对象包括自然数、整数、有理数和实数（也许包括复数）； 基数不仅可以是十进制，还可以是二进制、十六进制或六十进制。 算术最大的特点就是注重具体数字。
(2)初等代数
通过用符号替换具体的数字（成为变量），可以得到更一般的（）方程，例如：
初等代数（ ）是古代算术的延伸和发展。 在古代，算术积累了大量数量问题的解法。 为了寻求更系统、更通用的方法来求解各种数量关系，以求解方程为核心的初等代数产生了。 从实际问题的数量关系（即代数表达式：整数、分数、根式）和等价关系（或不等式）中列出方程或方程组。 方程（组）包括一变量/二变量的线性方程（with one/two）、一变量的二次方程（）、指数和对数方程（and）、无理方程（）、线性方程（of）。
与初等代数相比，高等代数本质上是同一件事，但更加系统化（深度+广度）。
如果将初等代数进一步推广（），它就成为抽象代数。 初等代数和抽象代数之间的界限是初等代数只考虑实数和复数的代数结构。
(3)抽象代数
抽象代数（ ）、现代代数、现代代数（ ）所指的含义相同（甚至直接称为代数）。 抽象代数的主要研究对象是代数结构，包括群、环、域、向量空间等。
伽罗瓦（É，1811-1832）是现代群论的创始人（由阿贝尔独立发明）。 他用群的概念彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题（称为伽罗瓦理论），系统地解释了为什么五次及以上的方程没有公式解，而五次以上的方程有公式解。四级及以下，将代数从求解方程的科学转变为研究代数结构的科学，即将代数扩展到抽象代数。
(4)线性代数
线性代数是抽象代数的一个特殊范畴。 其代数结构为：向量空间（也称线性空间）+线性变换（）。 人们很容易将线性代数和矩阵论等同起来，但它们实际上是不同的。 线性变换的讨论是建立在选择一组基的前提下的。
1.2 代数结构
既然抽象代数的研究对象是代数结构（ ），那么什么是代数结构呢？ 我从很多不同的角度阅读了代数结构的描述，比如百度百科代数：代数是数学的一个分支，研究数字、数量、关系和结构。
《MIT专家解释数学系统》中的描述是最深刻也最简单的，如下：
代数主要研究运算规则。 一门代数课程实际上是从具体的运算系统中抽象出一些基本规则，建立公理体系，然后在此基础上进行研究。 一组加上一组运算规则形成代数结构（想想计算机数据结构：数据+运算）。
1.3 初等代数–>抽象代数
抽象代数扩展了初等代数的一些概念。
(1) 数字-->集合
朴素集合论（朴素集合）和公理集合论（集合）中集合的定义是不同的。 前者是指由某些元素组成；后者是指由某些元素组成。 后者指具有某些特定属性的事物的总体。
(2)+ –> 二元运算
加号+被抽象为二元运算*()。 如果对两个元素进行二元运算，得到的新元素仍然属于集合。 这称为闭包()。 事实上，加、减、乘、除都称为二元运算（二元是指两个操作数）。
(3)0/1 –> 单位元
0和1被抽象为单位元( )，0是加法单位元，1是乘法单位元。 单位元是集合的特殊元素（与二元运算相关）。 当单位元与其他元素组合时，元素不变，即满足a*e=a和e*a=a。 可见单位元依赖于元素和二元运算。 例如，矩阵的加法单位元是零矩阵，矩阵的乘法单位元是单位矩阵。 值得注意的是，有些集合没有单位元，例如正整数集合（ 的集合）没有加性单位元（ 没有）。
(4) 负数-->逆元素
负数被推广到逆元素（ ）。 对于加法，a的逆元素是-a； 对于乘法，a 的逆元素是倒数 a−1。 直观上讲，逆元素可以撤销操作。 比如添加一个数字a，再添加数字-a的逆元素（相当于撤销操作），结果还是一样。
(5)结合律
结合性 ( ) 是某些二元运算的属性。 某些二元运算不具有结合性（例如减法、除法和八元数）。
(6)交换律
根据交换律（ ），改变二元运算符两边的元素不影响结果。 并非所有二维运算都满足交换律（例如矩阵乘法）。
2.团体式
代数结构（R，*）和二元运算可以根据闭包、恒等元、逆元、结合律和交换律归纳为不同的组。 本节介绍的类组，从最不严格到最严格（按顺序添加限制），关系图如下：
图1 组间关系
维基百科有一个表格给出了更详细的类组关系，如下：
图2 类群（来自这里）
2.1 原始组
原群（岩浆）是一个基本的代数结构。 只要对两个元素进行二元运算得到的新元素仍然属于该集合，它就是封闭的。 维基百科原文如下：
2.2 半群
半群()，满足结合律()的代数结构。 V=，其中二元运算*可结合，即(a*b)*c=a*(b*c)，则称V为半群。
2.3 幺半群
在半群的基础上，幺半群()也需要有单位元。
2.4 组
群是通过对两个元素进行二元运算得到的新元素。 需要满足群公理（群），即：
闭包：a * b 在集合中
结合律： (a * b) * c = a * (b * c)
单位元：a * e = a 和 e * a = a
逆元素：加法的逆元素是-a，乘法的逆元素是倒数1/a，...（对于所有元素）
例如，一组整数如果二维运算是加法则为群（闭包明显，加法满足结合律，单位元为0，逆元取相反数-a）。
2.5 阿贝尔群（交换群）
在群的基础上，阿贝尔群还需要满足交换律。 如整数集合和加法运算，(Z,+)，是阿贝尔群。
群公理：参见 2.4 群。
交换律：a + b = b + a
3.环理论
环基于交换群进一步限制条件。 环、交换环、域之间的关系如下：
图3 环、交换环、域的关系
维基百科有一个表格从不同角度展示了三者之间的关系，如下：
图4 环状（来自这里）
3.1 环
环在阿贝尔群（也叫交换群）的基础上，增加了一个二元运算（虽然叫乘法，但是和初等代数的乘法不同）。 代数结构是环(R,+,·)，需要满足环公理(环)，如(Z,+,·)。 环公理如下：
(1)(R,+)是交换群
闭包：a+b在集合中
结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
单位元：加法的单位元为0，a + 0 = a 且0 + a = a
逆：加法的逆为 -a，a + (−a) = (−a) + a = 0（对于所有元素）
交换律：a + b = b + a
(2)(R,·)是幺半群
结合律： (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)
单位元：乘法的单位元为 1，a ⋅ 1 = a 且 1 ⋅ a = a
(3) 乘法满足加法的分配律
a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c) 对于 R 中的所有 a、b、c（左）
(b + c) ⋅ a = (b ⋅ a) + (c ⋅ a) 对于 R 中的所有 a、b、c（右 ）
3.2 交换环
交换环（环） 基于环，二元运算乘法也满足交换律。
3.3 整个循环
积分环 ( ) 基于交换环，并且满足不存在零因子（因此，集合中任意两个元素的乘积不等于 0）。
4. 域名
在交换环的基础上，Field还增加了二元运算除法，这就要求元素（除零之外）可以被除，即每个非零元素必须有一个乘法逆元。 可见，域是一种可以加、减、乘、除（0除外）的代数结构，是数域和四种算术运算的扩展。 整数集合不存在乘法逆元素（1/3 不是整数），因此整数集合不是域。 有理数、实数、复数可以组成域，分别称为有理数域、实数域、复数域。
一些代数结构从有限域到交换环的依赖关系如下：
环⊃⊃⊃⊃理想⊃⊃⊃。
5.向量空间
向量空间是向量的集合。最熟悉的例子是几何向量或向量 ( , , )，它们表示具有大小和方向的对象，例如
，向量可以进行加法()和乘法()运算，例如：
图5和（来自这里）
其他示例包括坐标空间 ( )、复数、函数空间 ( ) 和线性方程 ( )。
5.1 8条公理
维基百科空间部分的摘录如下：
给定域 F，向量空间 V 表示为 F-向量空间。 其二元运算：
向量加法： + : V × V → V 表示为 v + w, ∃ v, w ∈ V
标量乘法： ·: F × V → V 表示为 av, ∃a ∈ F 且 v ∈ V
并满足以下8条公理：
向量加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w
向量加法的单位元：V有0个零向量，∀ v ∈ V , v + 0 = v
向量加法的逆：∀v∈V，∃w∈V，使得v + w = 0
向量加法交换律：v + w = w + v
标量乘法和域乘法兼容(): a(bv) = (ab)v
标量乘法有一个单位元：1 v = v，1指的是域F的乘法单位元
标量乘法满足向量加法的分配律：a(v + w) = av + aw
标量乘法满足场加法的分配律：(a + b)v = av + bv
另外，如果F是实数域ℝ，则V称为实数向量空间； 若 F 是复数域 ℂ，则 V 称为复数向量空间； 如果F是有限域，则V称为有限域向量空间。
6、模具
()是向量空间的推广，将标量域（向量空间）扩展到任意环（模）。
7.代数（环论）
() 将域上的域概括为交换环。
8. 网格
() 是一个偏序集合，其中任意两个元素都有上界和不定界。
9. 总结
是时候展示一下这张照片了。 图片来自这里。 还有一个关于这张图片的短视频，在这里。
图6 /
通过用符号替换具体的数字（成为变量），可以得到更一般的（）方程，例如：
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