傅里叶变换是线性系统分析的有力工具！

数字图像处理方法主要分为两部分：空间域分析方法和频域分析方法。 空间域分析方法是对图像矩阵进行处理； 频域分析方法是通过图像变换将图像从空间域变换到频域，从另一个角度分析图像的特征并进行处理。 频域分析方法广泛应用于图像增强、图像恢复、图像编码压缩和特征编码压缩。

如果信号 f(t) 在

满足：

① f(t)在任意有限区间内满足狄利克雷条件；

② f(t) 为

它绝对可以集成在

时域信号f(t)可以通过傅里叶变换转换到频域进行处理：

然后通过傅里叶逆变换将频域信号转换到时域：

傅里叶变换是线性系统分析的强大工具。 它提供了一种将时域信号转换为频域进行分析的方法。 时域和频域之间存在一一对应的映射关系。 图像的频率是图像灰度变化强度的指标，是灰度在平面空间中的梯度。 例如：大面积的沙漠是图像中灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低； 而表面属性变化剧烈的边缘区域是图像中灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。

傅里叶变换在实际中具有非常明显的物理意义。 假设f是一个能量有限的模拟信号，那么它的傅里叶变换就代表了f的频谱。 从纯粹的数学意义上来说，傅里叶变换将一个函数转换为一系列周期函数。 从物理效应的角度来看，傅里叶变换将图像从空间域转换到频域，其逆变换将图像从频域转换到空间域。 换句话说，傅里叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，而傅里叶逆变换就是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。

2）缺点

经典变换只能反映信号的整体特征（时域、频域）。 对于傅里叶频谱中的某个频率，无法知道该频率何时产生。 从傅里叶变换的定义也可以看出，傅里叶变换是信号在整个时域的积分，因此反映的是信号频率的统计特性，不具有局部信号分析的功能。 此外，信号还需要满足稳态条件。 傅里叶变换的时域和频域是完全分离的。

l 由公式

可见，要利用变换来研究时域信号的频谱特性，必须获得时域的所有信息；

l 如果信号在某一时刻发生小邻域变化，那么信号的整个频谱都会受到影响，而频谱的变化并不能从根本上标定变化的时间位置和变化的强度。 也就是说，变换对信号的均匀性不敏感。 无法给出每个本地时间范围内频谱上的频谱信息的描述。 然而，在实际应用中，均匀性正是我们关心的信号的局部范围特性。 如音乐、语音信号等。即：局部时间分析、图形边缘检测、地震勘探反射波位置等信息极其重要。

l 为了解决傅里叶变换的局限性，产生了Gabor变换和小波变换。

2.Gabor变换

Gabor变换由D.Gabor于1946年提出。为了从信号变换中提取局部信息，引入时间局部化的窗函数，得到窗变换。 由于窗变换只依赖于部分时间信号，所以窗变换现在也称为短时变换，这种变换也称为Gabor变换。

1）Gabor的优点

Gabor 小波与人类视觉系统中简单细胞的视觉刺激反应非常相似。 它在提取目标局部空间和频域信息方面具有良好的性能。 Gabor小波本身虽然不能形成正交基，但在特定参数下可以形成紧框架。 Gabor小波对图像边缘敏感，可以提供良好的方向选择和尺度选择特性。 它还对光照变化不敏感，能够提供良好的光照变化适应性。 上述特点使得Gabor小波在视觉信息理解中得到广泛应用。

Gabor滤波器和脊椎动物视觉皮层感受野响应的比较：第一行代表脊椎动物视觉皮层感受野，第二行是Gabor滤波器，第三行是两者的残差。 可以看出，两者的差异非常小。 Gabor 滤波器的这一特性使其经常用于视野中的图像预处理。

2）伽博定义

① 具体窗函数-Gabor变换定义

Gabor变换的基本思想是将信号划分为许多小的时间间隔，利用傅里叶变换对每个时间间隔进行分析，以确定该时间间隔内信号的频率。 处理方法是给f(t)加上滑动窗口，然后进行傅里叶变换。

设函数 f 为特定函数，并且

，则 Gabor 变换定义为

在，

，是一个高斯函数，称为窗函数。 其中a>0,b>0。

它是一个时间局部化的“窗口函数”。 其中，参数b用于并行移动窗口以覆盖整个时域。对参数b积分，我们有

信号的重构表达式为

Gabor将g(t)作为高斯函数有两个原因：首先，高斯函数的变换仍然是高斯函数，这使得逆变换也用窗函数局部化，体现了频域的局部化； 其次，Gabor变换是最优窗口变换。 其意义在于，只有Gabor变换出现后，才能有真正的时频分析。 即Gabor变换可以达到时频定位的目的：它可以提供信号整体的所有信息，并且可以提供任意局部时间内信号变化强度的信息。 简而言之，可以同时提供时域和频域的本地化信息。

② 窗户的宽高关系

通过理论推导，可以得出高斯窗函数条件下的窗宽和窗高，且乘积为固定值。

矩形时频窗：宽度

，高的

。

由此，我们可以看出Gabor变换的局限性：对于所有频率来说，时频的宽度都是固定的。 实际的要求是：窗口的大小应该随着频率的变化而变化。 频率越高，窗口应该越小。 这符合高频信号的分辨率应低于低频信号的分辨率的实际问题。

3）求离散Gabor变换的一般方法

① 首先选择核函数

可以根据实际需要选择合适的核函数。 比如，比如高斯窗函数；

那么它的双重功能

为了

② 离散Gabor变换的表达式

在，

是的

的对偶函数，它们之间存在如下生物正交关系。

4）Gabor变换的解析理论

Gabor变换的解析理论是从g(t)中找到对偶函数

方法。

将 g(t) 的 Zak 变换定义为

可以证明，对偶函数可以由下式求出：

双功能可以使计算更加简洁方便。

5）适用条件

① 临界采样Gabor展开式要求：TΩ=2π；

② 过采样扩展要求：TΩ≤2π；

当 TΩ>2π 时，欠采样 Gabor 展开式已被证明会导致数值不稳定。

6）申请

① 瞬态信号检测

如果您对信号波形有一定的先验知识，并能相应地选择合适的基函数，则可以使用Gabor变换来准确地检测和测量信号。

②图像分析与压缩

二维Gabor变换可以应用于图像分析和压缩。

3. 二维Gabor滤波器

Gabor函数形成的二维Gabor滤波器具有在空间域和频域同时实现最优定位的特点，因此可以很好地描述空间频率（尺度）、空间位置对应的局部结构信息和方向选择性。 。 Gabor滤波器的频率和方向表示与人类视觉系统接近，常用于纹理表示和描述。 在图像处理领域，Gabor滤波器是一种用于边缘检测的线性滤波器。 ，在空间域中，二维Gabor滤波器是正弦平面波和高斯核函数的乘积。 Gabor滤波器是自相似的，即所有的Gabor滤波器都可以由母小波通过展开和旋转生成。 在实际应用中，Gabor滤波器可以提取频域中不同尺度和方向的相关特征。

1）定义

从空间角度看：是高斯核函数调制正弦平面波。

s(x,y)是复数正弦函数，相当于载波； w(x,y) 是二维高斯函数包络。

(u0,v0)定义了正弦平面波的时域频率，可以用极坐标中的f和θ表示。

a, b 是椭圆高斯在 x 和 y 方向上的方差

K=1/ab 是高斯包络的参数

r 是角度旋转的下标

θ 是旋转角度

(x0, y0) 是函数的峰值和接受场的中心

f(x,y) f(x',y')

Gabor 滤波器的傅里叶变换：复正弦曲线 (u0, v0) 空间频率处的峰值响应

Gabor滤波器示意图，3个角度5个方向：

2）分析

生成 2D Gabor 滤波器的代码：

完成：