初中数学：类比成复数的伴随T，不可交换

其实类比复数是一个更直观的想法。 你不妨看看课本上的7D。 我们将复数之间的乘法理解为：模块长度的乘法和参数的加法。 即视为复平面上的变化（将复数写为 z=\rho e^{i\theta}，\rho 为非负实数，\theta\in[0,2\ pi]，你可以找出为什么可以这么说）对比课本7D中的极坐标分解中的T=S\sqrt{T^*T}，我们可以将S对应到e^{i\theta}。 如果你看课本的9B，你会发现其实一个是分别在一组基数中对向量进行旋转；

\rho 和 \sqrt{T^*T} 彼此对应。 \sqrt{T^*T} 实际上是一个。 根据实数谱定理，该算子可以看作是分别对由特征向量组成的一组基进行扩展和收缩。 变换，所以矩阵实际上将情况从二维复平面提升到了更高维的情况。 如果对算子T的伴随T^*进行极坐标分解，可以得到T^*=(\sqrt{T^*T})^*S^*=\sqrt{T^*T}S^*；

对于复数 z=\rho e^{i\theta}，我们得到 \bar{z}=\rho e^{-i\theta}，这意味着 \rho 保持不变（对应的 \sqrt{T^ * T} 没有变，虽然顺序变了，考虑到复数乘法是可交换的，而矩阵乘法是不可交换的，我们不妨从几何的角度来思考，缩放再旋转和旋转再缩放本质上就是同样的，根据课本定理9.34，我们将一个普通算子的函数分解为几个子空间的旋转和展开，我们可以知道，普通算子及其伴随物是可交换的（矩阵乘法），但普通算子不是，因为有一种情况：旋转和膨胀的子空间不是同一个子空间（就像扭转魔方一样，如果改变操作顺序，魔方就会不同），改变的是e^{i\theta }（对应极分解得到的S）。 从这个角度我们可以发现共轭与共轭之间的关系。 如果是自伴矩阵，则表示S=S^*，对应e^{i\theta}=e^{-i\theta}，这说明e^{i\theta}是实数数，对应复数 z=\rho e^{i\theta} 是实数。 其实还有一个很有趣的命题，大家不妨在这里思考一下：

彻底理解这个命题还可以引出方程，这是复分析中最重要的概念之一。

这个过程可能用符号不太好，但是大体意思是这样的……你可以看一下《普林斯顿数学指南》第一卷中文译本《视觉复数分析》第36页

如果我们从奇异值分解的角度来看，奇异值分解的本质就是找到一组正则正交基来分解向量，然后对奇异值进行膨胀和收缩倍数，最后找到一组正则正交基根据相应的组件进行组合的基础。 参考课本7D的第17题，我们可以发现这个有趣的过程：有两组规范正交基e_1,\dots,e_n和f_1,\dots,f_n，一组用于“分解”向量，另一组用于“分解”向量。用起来“汇编”就像一本密码本，一本用于解码，一本用于编码。 随之而来的步骤是交换这两组向量的“职责”。 自伴随算子的意思是两组向量是相同的（编码和解码是一个人完成的，所以叫自伴，哈哈）

PS：考试结束了……