：公式通过构造节点x-i的基函数公式

（从第2章开始）。

插值插值问题是，给定 n+1 点 f（x_i）=y_i， i=0,1,...,n，

其中 x_i 彼此不相等，现在我们需要找到一个阶数不高于 n 的多项式，满足 p（x_i）=f（x_i）=y_i， i=0,1,...,n

1. 插值公式

通过构造节点x_i的基函数

l_i（x）=\frac{（x-x_0）（x-x_1）···（x -x_{i-1}）（x-x_{i+1}）···（x-x_n）}{（x_i-x_0）（x_i-x_1）···（x_i -x_{i-1}）（x_i-x_{i+1}）···（x_i-x_n）}\\

您可以获取插值公式

L_n（x）=\sum_{j=0}^{n}{（x）}\\

这个插值多项式是唯一的

插值公式的误差为

R_n（x）=\frac{f^{（n+1）}（\习）}{（n+1）！} \prod_{i=0}^{n}（x-x_i）\\

其中 \习=g（x），\习\in（a，b）。

2. 插值公式

假设线性插值已到达交叉点（x_0，y_0）、（x_1，y_1）的直线p_{0,1}（x）和通过点（x_1，y_1）、（x_2，y_2）的直线p_{1,2}（x），则可以得到这三个点的抛物线

q（x）=\frac{x-x_0}{x_2-x_0}p_{1,2}（x）+\frac{x_2-x}{x_2-x_0}p_{0,1}（x）\\

重复此步骤可获得 n+1 点的 n 次多项式

3. 插值公式

f[x_j]=f（x_j） 是 f（x） 相对于 f（x） 的 0 阶差分商

x_j，f[x_0，x_1，····，x_n] 是 f（x） 相对于点 x_0，x_1,...,x_n 的 n 阶差分商

微分商满足递归关系

f[x_0，x_1，···，x_n]=\frac{f[x_1，x_2，···，x_n]-f[x_0，x_1，···，x_{n-1}]}{x_n-x_0}\\

如果 f（x） 在包含 x_0，x_1，···，x_{n-1} 的区间中有 n 个导数，则存在 \习 满足

f[x_0，x_1，···，x_{n}]=\frac{f^n（\习）}{n！} \tag{*}

其中 \习=g（x），\习\in（a，b）。

如果两个节点相同，则视为极限，方括号内任意两个项的反转不影响结果

插值公式为

：

N_n（x）=f（x_0）+f[x_0，x_1]（x-x_0）+··· +f[x_0，x_1，···，x_n]（x-x_0）（x-x_1）···（x-x_{n-1}）\\

余数可以通过一次性计算来了解

R_n（x）=f[x_0，x_1，···，x_{n}]\\

因此，错误由 （*） 知道。

两点插值问题

两点插值问题是找到一个满足

它

H（x_i）=f_i，H'（x_i）=f_{i}'，i=1,2\\

为了解决这个问题，发现了两个特殊的三次多项式

\phi_0（t）=（1-t）^2（1+2t），\phi_1（t）=t（1-t）^2\\

这两个多项式满足

\phi_0（0）=1，\phi_0'（0）=\phi_0（1）=\phi_0'（1）=0\\ \phi_1'（0）=1，\phi_1（0）=\phi_1（1）=\phi_1'（1）=0

记得

h_{0,0}（x）=\phi_0（\frac{x-x_0}{h}），h_{1,0}（x）=\phi_0（\frac{x_1-x}{h}）\\ h_{0,1}（x）=h\phi_1（\frac{x-x_0}{h}），h_{1,1}（x）=-h\phi_1（\frac{x_1-x}{h}）

其中 h=x_1-x_0

所以

H（x）=f_0h_{0,0}（x）+f_1h_{1,0}（x）+f_0'h_{0,1}（x）+f_1'h_{1,1}（x）\\

也就是说，

解决问题的方法，这是独一无二的

该插值多项式的误差估计为

R_3（x）=\frac{f^{（4）}（\习）}{4！} （x-x_0）^2（x-x_1）^2\\

其中 \习=g（x），\习\in（a，b）。

4.三次样条插值功能

要找到一组 3 阶多项式，由这组多项式组成的分段函数满足

s（x_i）=f_i，i=1,2,...n-1\\

此外，还添加了以下三个边界条件

（1） \text{I} 边界条件

s（x_0）=f_0，s（x_n）=f_n，s'（x_0）=f_0'，s'（x_n）=f_n'\\

（2） \text{II} 边界条件

s（x_0）=f_0，s（x_n）=f_n，s''（x_0）=f_0''，s''（x_n）=f_n''\\

（3） \text{III} 边界条件

s（x_0）=f_0，s（x_n）=f_n，s'（x_0）=s'（x_n），s''（x_0）=s''（x_n）\\

对于 \text{I} 边界条件，表示 h_i=x_i-x_{i-1}，（i=1,2，···，n），\=\frac{h_{i+1}}{h_i+h_{i+1}}，\mu_i=1-\\\

请记住

d_i=6f[x_{i-1}，x_{i}，x_{i+1}]（i=1，···，n-1）\\

然后就要求求解方程\

begin{}2&1&\\\mu_1&2&\\\{}&\\mu2&2&\\\{}&{}&\\ddots&\ddots&\ddots\\{}&{}&{{}\mu_{n-1}&2&\{{n-1}\\{{}&{{}&1&2 \end{} \begin{} M_0\\ M_1\\ M_2\\ \vdots\\ M_{n-1}\\ M_{n} \ end{} =\begin{} d_0\\ d_1\\ d_2\\ \vdots\\ d_{n-1}\\ d_{n} \end{}\\

得到满足条件的多项式

s_{I}（x）=\frac{1}{6h_i}[（x-x_i）^3M_{i-1}+（x-x_{i-1}）^3M_i]+\frac{1}{h_i}[（x_i-x）f_{i-1}+（x-x_{i-1}）f_{i}]\\-\frac{h_i}{6}[（x_i-x）M_{i-1}+（x-x_{i-1}）M_{i}]，x\in e_i， i=1,2，···，n

（以上内容需完整背诵）。