（笔记）线性代数通俗理解（45分钟）

本笔记内容主要来源于45分钟线性代数通俗讲解。 非常感谢楼主的分享。 这里我补充了一些自己的理解，并结合自己所学的知识。

基本概念

数据的维度：即数据包含的参数个数，描述一个对象所需的参数个数。 这样一组数据就构成了一个多维数据，比如空间坐标(1,2)、空间向量[1,2,3]。

对线性的理解：线性是均匀分布，对于加法有意义，比如数轴上的数字。 线性函数的特点是输入值均匀排列，输出值均匀排列。 在线性代数中，线性函数是线性映射。 输入和输出在同一域的向量空间中保持向量加法和标量乘法。 在线性代数中，线性变换处理的输入和输出数据维度是任意的（与初级代数最明显的区别）。

从线性生成的角度来看，空间中的每个值都是由一个单位向量（基向量）拉伸的，一维空间中只有一个单位向量。 线性函数的职责只是告诉我们输出空间的基向量是什么。 在输入向量到输出向量的线性变化中，它和基向量的关系没有改变，只有基向量发生变化。

例如：在二维坐标空间中，基向量为i=[1,0]和j=[0,1]，假设输入向量为a=[1,2]，则实际值为a=得到1*i+2* j，经过y=2x变换后，输出向量为b=[2,4]，但实际上基向量变成了i=[2,0]和j=[0,2]，而b与基向量不同，向量之间的关系没有改变。 其实还是b=1*i+2*j=a，只是基向量变了。

接下来我们看一下三种拉伸变换：

拉伸标准基向量以获得特定向量。 确定向量与基之间的关系。

二

拉伸整个输入空间

获取特定的输出空间

即，指示基向量的变换的线性函数，使得向量与基向量之间的关系保持不变。

三

拉伸向量

得到这个向量的线性组合

将单个向量线性组合得到的所有向量称为该向量的跨度。

这里，0向量的各种拉伸结果仍然为零，因此0向量的跨度空间仍然为0。

线性组合和跨度空间经常用于多维空间。

描述线性函数的四种方法：

理解线性变换的过程

以下是二维空间线性变换的过程：

一维空间中，线性变换表达式为 y=kx+b

可见，在二维空间中情况类似。 在二维空间中，线性变换表达式的自变量变成二维数据，自变量前面的矩阵代表两个基向量的变化。

在任意维空间：

n个线性无关的n维向量的线性组合可以扩展到n维空间

如果一个n维空间经过线性变换后仍然是一个n维空间，那么这个线性变换就是满秩变换。

功能和转换：

函数()分为变换()和映射()两种形式，但映射关系在线性代数中并不明显。

线性函数还可以映射不同维度的空间，如下：

复合功能

多次线性变换可以通过矩阵相乘得到最终的变换结果。 矩阵乘法的原理与复合函数算法类似。 操作顺序不能互换。 同时遵循左行右列定理。

行列式和特征值

行列式可以理解为线性变换前后单位面积与体积的比值。

当行列式的值为0时，表示变换后的空间体积为0。此时向量之间必然存在线性相关性，高维空间被压缩为低维空间。

在线性变换中，大多数向量都会旋转。 求变换时不经过旋转变换的向量就是线性变换的特征向量，特征向量的拉伸值就是线性变化的特征值。 公式如下：

Av=λv

式中，A表示线性变换矩阵，v为所需的特征向量，λ表示常数，这里表示线性变换的特征值，λv为乘法变换或展开变换。

该公式通常通过应用以下变换来运算。

​ A v - (λ E) v = 0

​ (A - λE) v = 0 将向量 v 变为 0 向量。 向量v只能通过线性变换（A - λE）压缩到低维空间

即 det (A - λE) = 0。这里使用了行列式性质。

两个向量的投影

向量 [def] 投影到 [abc]

结论

（摘录一些感人的话语）

现实生活中，人类能够感知的信息仍然有很多属于非线性关系，比如人们对声音的感受，人们对亮度的感受等等。但是，我们可以将非线性信息转化为线性信息。信息通过一定的处理方法，将乘法的信息转化为对加法有意义的形式，从而转化为我们理解的形式。 也就是说，每个人都能理解的信息可以用线性形式来写。

我们所学的一切数学知识都是基于公理（人们认为正确的真理）推导出来的一套计算工具。 虽然它们不是世界的全部，但这些计算工具可以帮助我们解决现实生活中的问题。 ，并可以帮助我们探索未知。