普林斯顿微积分读本：不定积分常用方法小结

对于即将学习高等数学或者准备高等数学考试的大学生来说，不定积分是一道绕不过去的坎。 无论是下面的定积分、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分，还是微分方程，都离不开不定积分的基础。 因此，我根据大学所学，结合自己的笔记、老师的PPT以及博士生班纳先生的《普林斯顿微积分读本》一书，写了这篇《不定积分常用方法总结》。 D . 普林斯顿大学数学博士。 如果有不对的地方，欢迎大家在评论区批评指正。

这篇文章为什么这么长？

我假设你真的想掌握不定积分的方法，并且能够轻松应对考试中不断变化的题型，而不是只是吞下题目，只知道一点点，所以你准备投入一些时间和精力去阅读和理解这些详尽的解释。

在阅读本文之前您需要了解哪些知识？

需要掌握函数、三角函数、极限、导数等知识，能够熟练地求出给定函数的导数。 不定积分的本质是求一个函数，使其导数等于已知函数，这基本上是求导的逆运算。 因此，在学习不定积分之前，需要熟练掌握求导相关的知识。

写这篇文章的前提是你已经对不定积分有一定的了解，知道不定积分的一些基本概念（你至少要上过高等数学课上的不定积分的粗课，或者干脆自己学一下）教科书中的这一章）。 因此，如果你还没有开始学习不定积分，建议你听完大学老师的讲座后开始阅读本文。

啊！ 下周就要期末考试了，我什么都不知道！ 我该怎么办？

不要惊慌，请简单浏览一下你的高等数学课本上有关不定积分的章节，然后仔细阅读本文。 尝试自己回答文章中的例题，并掌握文章中提到的方法和公式。 我相信你的水平一定会得到提高。

最后，请相信：努力工作，自信地走好每一步，那么幸运一定会伴随着你。

开始了！

1. 部分积分法 - 将其分解！分成可以轻松积分的项之和

不定积分对于加减运算更加友好。 f(x)+g(x) 的不定积分是 f(x) 的不定积分加上 g(x) 的不定积分。 因此，我们应该尽量将被积函数拆分成几个易于积分的函数之和，然后分别进行积分。 废话不多说，我们来看一下例子：（本文中的例子大部分都是手写和拍照的，我的字写得不太好，还请见谅）

部分积分法（分割）

第一题巧妙地运用了“分子-1+1”的方法，利用平方差公式对x^4-1进行因式分解，成功地将分数形式的原始被积数拆分成三个易于积分的函数。 和。

第二题利用三角函数的平方关系，将tanx的平方转化为secx减一的平方（这个三角平方关系很重要，后面我们也会提到）。

第三题使用双角公式，进行“分母奇异化”（我们将在第二个要点中讨论），简化被积数。

接下来还有两道题，我们来练习一下吧！

偏积分法练习

答案如下：

分部积分练习答案

第一题利用cos2x的双角公式对被积函数进行因式分解和化简。

第二题采用分项的方法，将一个分数表示为两个最简分数之和，然后分别积分。 （稍后我们在讨论“有理函数的不定积分”时也会详细讨论这种技术）

2. 奇异化分母（有时拆分项很有帮助）

分母奇异化的方法一般有以下三种：

①三角公式（双角、积分和差、万能代入公式、辅助角公式/二合一变形）

②分母有理化，分子和分母同时乘以共轭根式（下题后一项用三角代换，后面会讲）

③将分母整体替换

分母单项化-三角公式1

分母单项化-三角公式2

分母的单项化 - 分子和分母的共轭根式

【前两点是一些核心思想，后面是一些方法】

3.第一种替代法（微分）

简单来说，如果被积函数的一部分是另一部分的导数，则将被积数中是导数的部分代入微分 d( ) [原理是 f `(x)dx=d[f(x) ]，相当于向后背导数（微分）公式]，然后令d(·)=du，这样被积函数就变成了关于u的一个易于积分的新函数。 熟练后，d()=du的步骤就可以省略了。

像sin2x和1/(2x-3)这样的简单积分可以直接看出，因为差值只是一个常数。 把这个常数带入微分，dx就变成了d(2x),d(2x-3)然后除这个常数就可以了。 另外，d(ax)=d(ax+b)=adx，所以微分时加减常数时，微分结果不变。

复微分微分一般分为以下两类：

（1）有理函数，e^x，lnx（一些指数，对数）等：

加一项、减一项、分子和分母同时乘以一个因子、分母平方、分割项和因式分解。

(2) 三角函数：

三角恒等变形（双角、乘积和差、万能代换公式、辅助角公式/二合一变形）、常数逆代换。

常数逆替换的示例

关于三角恒等变形的一些常用公式（高中也教过一些公式）：

三角函数公式（请努力熟练掌握）

请熟记以下常用微分公式！ （其实不需要死记硬背，题多了自然就熟练了，这些公式就是作为一些模板的，注意不要漏掉一些公式前面的负号）

建议熟记常用的微分公式。

以下是微积分的一些例子：（选自上海大学数学系编的《高等数学问题详解（第一卷）》）

微分示例1

组合微分的形式有很多种。 添加什么取决于具体情况。 你可以通过多做题来掌握它。

顺便说一下，上一题用辅助角公式做分母也可以用微分学来求解，但是不太容易想到。

微分例2

最后，请记住下面的三角平方和公式：（尤其是最后两个，在高中很少接触到，但在大学却经常使用）

3个常用的三角平方和公式

4、第二种替代方法

第二种代入法的主要目的是处理无理式（根号）。 常见的有两种：三角代换和直接整体代换，如下图：

第二种替代方法的类型

您是否认为很难记住使用哪个三角函数来进行三角代换？ 这里有一个小技巧：想一想平方根中的三角公式。 具体来说，我在上图中用红点和蓝色三角形标记了它。 常数a对应1，x对应某个三角函数，加减符号不变。 以第一个为例，a^2对应1，x^2对应某个三角函数的平方，然后想：1减去另一个平方是多少？ （因为要去掉平方根，就必须有一个平方）然后你的脑海里闪过一个想法：

所以记住，当遇到第一种时，令x=a·sint。 其他两种类型也是如此。 当然，前提是你记住了这三个三角平方关系。

做三角形代入时，要注意画辅助三角形，否则反代x时很容易搞错sint、cost、tant对应的x的表达式。 【当然，也不排除有时候，考试时用代入法累计了不定积分后，兴奋到忘了把x反代入。】具体如下：

三角代换 - 辅助三角形

同样，我们看一些例子：（摘自大学老师的PPT）

三角形替换

当然，三角形交换并不总是有用。 比如下面这种情况，直接兑换人民币会比较好：

不适合三角代换的例子

当出现多个根式时，如平方根、立方根、6次方等，可以设置t=x^n，其中n为各根指数的最小公倍数。 （如上例n=6）

还有一种代入法称为“倒数代入”，当分母的幂太大时，使用t=1/x。 如下所示：

人民币倒计时

方法已经讲的差不多了。 下面已经为您列出了更多示例问题，因此我不再赘述。 要求读者在回答问题的同时思考什么时候把三角形换成美元，什么时候直接换成美元。 （例题选自上海大学数学系编着的《高等数学问题详解（第一卷）》）

第二次积分代换法练习 1

第二次积分代换法练习 2

5、两种代入方法及补充积分公式总结

有了第一种和第二种代入方法，我们可以总结出下图右侧的一些补充公式。 你只需要记住这些补充公式（3）和（4）中的两个即可，其他只是几个典型的例子。 考试时自己几步就能推导出来，不需要死记硬背。 不管你信不信，有时候记住太多的公式反而会很容易记住，而且得不偿失。

不定积分的一般公式和补充公式

以下是这些补充公式的推导过程，有兴趣的读者可以自行阅读。 如果您正在复习高级数学考试，并且没有太多时间复习，请暂时跳过它。

补充公式推导1

补充公式推导2

6. 分部法积分

相信大家都已经熟悉分部积分的公式了：

分部积分公式

其中u=u(x)，v=v(x)。 注意等号前后两个u、v的位置互换了，所以分部积分也被形象地称为“转置积分”，一般适用于被积数是几个相乘的形式功能。 使用分部积分解决问题的步骤如下：

① 将被积函数的部分因子化为微分dv（第一代入法）；

②将d之前的事物视为u，将d之后的事物视为v；

③一组分部积分公式；

④等号后面写积分时，可以先计算du，写成u`(x)dx的形式，然后积分。

在第一步之前，需要观察哪个因素更适合弥补差额。 这里有一个公式叫“对抗力指三”，具体含义如下：

“对抗三人的力量”

也就是说，当被积数为两个函数相乘时，一般用幂函数、指数函数、三角函数来组成dv。 优先级是三角函数>指数函数>幂函数，而u则采用反三角函数和对数函数。 原因是当您使用分部积分公式时，u 和 v 交换位置。 在等号右侧，v 成为被积函数，u 成为微分 du。 用“幂指三”来补dv是因为它们转置后更容易计算积分； 而“对立”的导数比本身简单，转置后求du更容易得到相对简单的表达式。 按照“反对三的幂”的规则使用分部积分，累加就不会变得更加复杂。 刚开始不熟练时，可以在草稿纸上写上u、dv、v、du。 一旦你熟练了，你就可以省略这些。

但请注意，有时需要拆分项、将分母转换为单项，并在分部积分之前先将方程进行恒等式转换。

通过分部积分，lnx、lnx 和大多数乘积形式的被积函数都可以积分。

以下为部分例题：（例题选自上海大学数学系编着的《高等数学问题详解（第一卷）》）

零件集成示例

7.分段函数的不定积分

有的同学认为分段函数的积分并不简单。 它只是意味着分别计算多个函数的积分。 不过，我们还是需要多注意一些小细节。 我们先来看看下面的问题：

分段函数的不定积分

将两个函数分别积分，答案是A。但不幸的是，正确答案是D。为什么呢？ 因为我们忽略了一个更重要的定理——原函数的存在定理。

原函数存在定理：如果函数f(x)在区间I上连续，则该区间上存在可微函数F(x)，使得对于任意x∈I，F`(x) = f(x ）。 也就是说，连续函数必须有原函数并且必须是积分的。

解析

这道题给我们的教训是：分段函数不定积分后面的常数C不能任意写。 我们需要注意函数在分段点处的连续性，通过方程得到几个常数之间的关系。

8. 一些三角函数的积分

(1) sin x 和 cos x 的高次方相乘的形式如下：

一般有以下几种情况：

(1) m、n均为偶数：利用倍角公式降低幂

(2)只要m、n其中之一为奇数：用奇数的三角函数补微分（若m、n均为奇数，则任选其一），另一个为使用三角平方和将其公式化为单个变量，例如 (cosx 平方)=1-(sinx 平方)。

我们首先看一个 m 和 n 都是偶数的例子：

三角函数的积分：m 和 n 均为偶数的示例

再有m、n中一奇一偶的例子：

三角函数的积分：m、n有偶数的例子

(2)两个不同角度的三角函数的乘法，如cosA·cosB。

这时候我们就需要用到乘积差公式（公式已经在第3节第一种代入法中给出）。 例如下面的问题：

两个不同角度的三角函数的乘法：乘积和差

(3) 与 tan x 和 cot x 的平方相关的积分

利用三角平方公式得到sec x 和csc x 平方减1，然后积分：

tan x 和 cot x 平方的积分

9*。 有理函数的积分（某些考试不需要）

有理函数的定义是两个多项式的商，其形式为：

有理函数

其中n、m为正整数。 如果n<m，则为真分数； 若n≥m，则为假分数。

对于有理函数的积分，我们的想法是对有理函数进行处理，将其拆分成几个更简单的有理函数之和的形式，即整数和四个典型的最简单分数。 整数积分相对容易。 我们只需要讨论如何对四个典型的最简单分数进行积分即可。 接下来，我们将首先研究如何分割有理函数，然后讨论三个典型的最简单分数的积分（最后一个不经常被测试）。 最后总结一下完整的方法，并附上一个完整的例子。

【注：由于以下内容涉及较多数学表达式，无法在栏内输入。 为了美观，在编辑这部分内容时，我会将内容打入word文档中，然后进行截图，以图片的形式呈现给读者】

图9-1

图9-2

图9-3

图9-4

总结：

有理函数积分的完整方法：

(1)如果是假分数，则用长除法将其转化为真分数与整数之和。

(2) 因式分解真分数的分母。

(3)分工。 将其分解为四个最简单分数之和的形式，系数如前确定。

(4) 求待定系数。 （比较系数法，给x赋值法）

（5）按照下图（上图9.2）的方法分别求各最简分数的积分。

最简分数 1-2 的积分

最简单分数 3 的积分

感谢您耐心阅读我的文章。 希望文章中的内容对您有所帮助。

祝您学业有成，考试顺利！