（知识点）基于张量的几何向量方向研究

这种变化定律演变成几何学或物理学中的张量概念，其确切形式决定了张量的类型或值。张量在物理学中很重要，因为它们提供了一个简洁的数学模型，用于构建或解决弹性力学、流体力学、广义相对论等领域的物理问题。张量的概念最初是由 Lévi- 和 - 提出的，他们延续了 、Bruno、 和其他人在绝对微积分方面的部分工作。张量的概念以黎曼曲率张量的形式为流形微分几何提供了替代形式。历史张量分析的概念起源于卡尔·弗里德里希·高斯（Karl Gauss）在微分几何方面的工作，并在19世纪中叶由代数形式和不变理论的发展发展而发展[2]。威廉·罗恩·汉密尔顿（ Ron ）[3]在1846年提到了这个词，它不等同于我们今天所说的张量。[ 注 1 ]当代用法是由 Vogt在1898年提出的[4]。“张量计算”的概念是由 Ricci 于1890年在《绝对微分几何》中提出的，并由Ricci于1892年首次提出[5]。随着 和 Lévi- 1900 年的经典著作 Mé de diff é et leurs（《绝对微分微积分方法及其应用》）的出版，许多数学家都知道了这一点[6]。

在20世纪，这门学科演变成广为人知的张量分析，在1915年左右的爱因斯坦的广义相对论中被广泛使用。广义相对论完全用张量语言表达。阿尔伯特·爱因斯坦（ ）曾要求几何学家马塞尔·布朗（ Brown）给几何学家写一封信。格罗斯曼研究了张量方法，并且非常努力地学习它们。[7]在1915年至1917年间，列维·奇维塔（Levi ）在相互尊重和向爱因斯坦学习的氛围中，对爱因斯坦的张量公式进行了一些修正。“我很佩服你的计算方法，它一定会让你在数学的道路上驰骋，但我们只能步履蹒跚。阿尔伯特·爱因斯坦，意大利相对论数学家 [8] 。1 张量平移在其他领域，张量也被认为是一种非常有用的数学方法，例如连续介质力学。在微分几何中，有一些众所周知的例子用二次形式表示，例如度量张量和黎曼曲率张量。在十九世纪中叶，赫尔曼·格拉斯曼（ ）的外代数本身就是一种具有很强几何性质的张量理论，但在很长一段时间里，人们很自然地认为微分形式包括张量理论。 Eley的工作指出，微分形式只是数学运算中张量的基本形式之一。自 20 世纪 20 年代以来，人们已经认识到张量在代数拓扑中起着重要作用（在 Künneth 定理的情况下）。[ 需要引用 ]因此，形状张量的工作适用于抽象代数的许多分支，特别是在同调代数和表示论中。

多线性代数可以比现场标量具有更大的通用性，但该理论肯定不那么几何化，并且在计算上更多的技术和算法更少（需要澄清）张量是由广义范畴中范畴论的概念手段定义的，从 20 世纪 60 年代开始。有几种方法可以定义张量。尽管它们可能看起来不同，但各种方法只是使用不同的语言来描述不同抽象级别的相同几何概念。多维数组由单个数字表示为标量，给定基准的向量由一维数组表示，相应地，基准下的任何张量都由多维数组表示。数组中的数字是张量的标量部分或张量本身。它们由张量名称后缀表示的位置的上标、下标和指数。每个部分的指数之和必须等于数组的维数，称为张量的行数或秩数 [ 注 2] 例如，二阶张量 T 的条目将表示为 Tij，其中 i 和 j 是从 1 到相关向量空间的维度指标 [ 注 3] 。当向量空间更改为基变换时，向量的元素也会更改。同样，张量的顺序在类似的变换下也会发生变化。每个张量都有相应的变换规则，通过该规则我们可以知道张量的元素如何反映张量的基变换。向量的元素可以用两种不同的方式反映（参见协方差向量和逆变向量），其中新的基向量根据以下公式从旧的基向量变换中导出，其中 Ri j 是矩阵，求和符号在第二个表达式中被取消（本文将使用爱因斯坦引入的方便符号方法）。

行向量（或列向量）v 中的元素 vi 由矩阵 R 的逆矩阵转换，其中指数表示新基上的分量。当分量（或行向量）时，W 会随着矩阵本身进行转换。R ij w j 张量元素的变换与矩阵元素的变换相似。如果向量的指数变换是基变换的逆变换，这种情况就变成了逆变换，通常是指上标指数，指数只跟基变换的情况称为协方差，其中指数是下标指数。逆变指数为 m 的 n 阶张量与 m-n 协变 2 张量平移指数之间的转换如下： i 1 ，，i ni1i nj n 1j mj1 ，， j nT i n j， ，i m = （ R）j（ R ）jnn 1mn 1，， jm1 这种张量称为阶或类型张量 （ n，m-n） [4] 。这样的讨论导致了张量的一般定义。定义：（n，m-n）类型的张量是多线性映射的赋值，即对于基f=（e1,...,eN），如果将以下基变换应用于多维数组，则成为“协变”定律的形式 Ti1 ， ，in1 i11 injn 1jmj1， ， jn[f ][f，R]=（R）（R ） RR Tjn 1， ， jmin 1， ，imj1j nin 1im 多维数组定义张量满足“协变”定律， 这可以追溯到里奇的早期作品。

今天，这个定义仍然经常出现在一些物理和工程书籍中。在许多实际应用中，特别是在微分几何和物理学中，张量场通常被转换为函数形式，将张量的元素视为 3 个张量。事实上，这只是利玛窦的早期作品。在今天的数学术语中，这些对象被称为张量场，但它们通常仅指张量本身。本文对“协变”定律的定义采用了不同的形式，张量场的基由基空间的坐标确定，“协变”定律的定义由坐标函数的偏导数表示。尽管这种方法也可以说明变化定律在基独立性中的作用，但有时更倾向于对张量进行更本质的定义。一种方法是将张量定义为多线性映射。在这种方法中，类型为 （n，m） 的张量被定义为映射。T ： V4 2VVVR，14 31 4 243n 其中 V 是向量空间，V* 是对应于向量空间的共轭向量空间，其中变量是线性的。*1 通过将多线性映射 （n，m） 类型的张量 T 应用于 V 的基 {e1 和 }V 的基共轭的 { ε}，即 （ i1，in ，e ，，e）j 1jmj 1jm 可用于获得 n+m 维数组。

选择不同的基材会产生不同的元素组成。但是，由于 T 的所有变量都是线性的，因此 T 的元素满足多线性数组定义中的“协变”定律。根据这个定义，T 的多线性数组元素形成一个张量。更重要的是，这样的数组可以用多线性映射 T 的某些元素来表示。在一些数学应用中，张量积的使用有时会使方法更加抽象。这种更抽象的方法可以通过定义向量空间的张量积的元素来实现，这反过来又定义了向量空间的通用性质。4 张量平移 （n，m） 类型的张量可以以向量空间张量积的形式定义，即： TV4 2VV44 2V14 314 43n 如果 V1 是 V 的基，1 是 W 的基，那么张量积 VW 自然有一个基 WViW j。张量 T 的元素是基 {e 1} 和共轭基 1 的张量相对于 V 的系数，即： { ε}TT i1 使用张量积的性质，我们可以看到这些元素满足 （ n，m） 型张量的“协变”定律。此外，张量积的泛型性质使得该定义下的张量与多线性映射定义的张量呈现出一对一的对应关系。算术张量可以执行许多基本运算，这些运算也可以产生张量。张量的线性性质表明，可以添加两个相同类型的张量，并且张量可以与标量相乘，结果与向量标量相似。

当这些操作应用于张量元素时，结果仅反映在元素上。这些操作不会改变张量的类型，当然，有些操作可以改变张量的类型。当向量空间可以是内积（或本文中提到的矩阵）时，张量运算会上升或减少，张量运算被定义为将高阶逆变器转换为低阶协变指标，反之亦然。度量本身是对称 （0,2） 张量，因此可以将张量的高阶度量与度量的低阶度量组合在一起。和以前一样，生成一个新的张量，低阶指标取代了高阶指标。这种操作称为降阶操作。反过来，您可以定义一个测量操作的矩阵，该矩阵充当 （2,0） 张量。这种反向度量可以将低阶指标转换为高阶指标。连续介质力学的应用提供了连续介质力学的一个重要例子。固体或流体力学中的应力用张量表示。应力张量和应变张量都是二阶张量，它们与线弹性材料中的四阶弹性张量相关。具体来说，固体力学中三维应力张量中的元素都是 3×3 阵列。在固体中取有限体积单元，其中所有三个面都受到给定的力。力矢量的元素都包含三个数字。因此，立方体有限体积单元上的应力可以用 3×3 或 9 个单元来描述。在固体的边界内是整个应力（不同值），每个应力需要 9 个量来描述。因此，有必要使用二阶张量。

如果材料内部存在单独列出的特殊表面，则材料的一个面会对另一侧施加力。通常，该力不会与表面正交，而是取决于线性方法中表面的方向。在线弹性中，该力表示为 （2,0） 张量，或者更准确地说，表示为 （2,0） 张量场，因为应力因节点而异。物理学中的其他例子，一般应用包括？电磁学中的电磁场张量（ ）.5张量转换？描述变形的有限变形张量和描述连续介质中应变的应变张量？各向异性介质中的介电常数和磁化率？广义相对四阶张量来描述动量流速？球坐标中的球面张量算子是量子理论动量算子的特征函数吗？扩散张量成像技术代表了生物环境的扩散性？量子力学和量子计算使用张量积来凝聚量子态二阶以上的张量，二阶张量的概念通常与矩阵相结合。高阶张量已经能够通过自身的发展提取科学和工程中的重要思想，并已在许多领域成功证明。例如，在计算机视觉领域，已经演示了三焦点张量感应的基本矩阵。在非线性光学领域，研究了极性电场条件下材料偏振的转变。极波的产生主要与非线性磁化率张量条件下电场的产生有关。如果 P 极化与 E 电场不是线性对称的，则称介质为非线性。

为了获得良好的相似性（在足够弱的电场条件下，假设没有永久偶极子），P极化由泰勒级数在E的电场条件下给出，这是一个非线性磁化率：其中是线性磁化率，代表波克尔斯效应和二次谐波振动，代表克尔效应。此扩展显示了高阶张量在主题上的显示方式。在无限维度中推广张量张量的概念可以通过多种方式推广。例如，一个是通过希尔伯特空间的张量积。在非线性分析中常见的另一种张量汇总方法是使用有限维向量空间及其代数对偶，而不是使用有限维向量空间及其连续对偶，方法是通过多线性管理系统定义它们。因此，张量依赖于 群。张量密度张量场也可能有自己的“密度”。密度为 r 的公共张量使用坐标变换进行变换，除非它乘以 行列式的 r 的幂。在多线性代数中，张量密度可以被认为是一个多线性映射，其值取自密度梁，例如，n形式的一维空间（空间维数为n）取R的相反值。在这个空间中，具有高“权重”的值被作为额外的张量积。在矢量梁表示法中，切割束的行列式梁是线性梁扭转 r 倍。一般来说，这些张量被标记为更一般的变换定律，所以这是一个全局问题，你可以写出雅可比行列式或其绝对值。

密度变换函数的非整数项是必需的，在这种情况下，密度的权重不需要整数值。在定向流形的情况下，可以用雅可比行列式限制坐标的变化，因为有一种一致的估计准则的方法，但密度的线性束与n形式的线性束不同。从本质上讲，密度只在流形中看到。6.张量平移自旋在正交坐标系中，当使用卷曲时，张量变形具有特征性的方式。然而，卷曲群中还有一个附加结构，它不会体现在张量变换定律中：对定位方向和平面的观察。从数学上讲，卷曲组不是简单地链接在一起的。实际上，自旋子是一个数学对象，它在推广张量变换定律方面起着重要作用。爱因斯坦的求和协议爱因斯坦的求和协议省略了累积符号的写法，隐含地表达了加号。任何重复的指标符号都是通用的。如果指标 i 在张量表达式中出现两次，则表示该项用于所有 i 的累积。一些显示的指标可以这样总结。7