chanong 数字黑洞 6174
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选择任意一个四位数（数字不能全部相同），将所有数字从小到大排列，然后将所有数字从小到大排列，用前者减去后者得到一个新数字。 对新得到的号码重复上述操作，7步之内你一定会得到6174。
例如，选择四位数字 6767：
7766 - 6677 = 1089
9810 - 0189 = 9621
9621 - 1269 = 8352
8532 - 2358 = 6174
7641 - 1467 = 6174
……
第6174章 这个“黑洞”被称为（）常数。 对于三位数，还有一个数字黑洞——495。
3x + 1 个问题
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从任意正整数开始，重复以下操作：如果是偶数，则除以 2；如果是偶数，则除以 2。 如果是奇数，则扩大到原数的3倍，然后加1。你会发现这个数列最终会变成4,2,1,4,2,1,…的循环。
例如选择的数字是67，可以根据上述规则得到：
67, 202, 101, 304, 152, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17,52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4、2、1、4、2、1、……
数学家尝试过很多数字，但没有一个能逃脱“421陷阱”。 但是，这个数列最终是否所有数字都会变成 4、2、1 的循环？
这个问题可以说是一个“坑”——乍一看，问题很简单，突破点也不少，于是数学家们纷纷跳进去。 殊不知，进来容易，出去却很难。 许多数学家直到去世都没有解决这个问题。 出来。
招揽了无数数学家，这一点从3x+1问题的各种别名就可以看出：3x+1问题也被称为猜想、问题、问题、哈塞算法、乌拉姆问题等。
后来因为命名争议太大，就干脆称为3x+1问题。
到目前为止，数学家尚未证明该定律适用于所有数字。
特殊乘法的快速计算
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如果两个两位数的十位数字相同，个位加起来是10，那么你就可以立即知道这两个数字的乘积。 如果这两个数分别写为AB和AC，那么它们的乘积的前两位是A和A+1的乘积，后两位是B和C的乘积。
例如，47和43的十位数字相同，个位数字之和为10，因此它们的乘积的前两位为4×(4 + 1)=20，后两位为7×3=21。 换句话说，47×43=2021。
类似地，61×69=4209、86×84=7224、35×35=1225等。
这种快速计算背后的原因是 (10 x + y) [10 x + (10 - y)]= 100 x (x + 1) + y (10 - y) 对于任何 x 和 y 都成立。
加倍，再加倍！
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两倍恰好是 1 到 9 之间的另一个数字。
两倍恰好是 1 到 9 之间的另一个数字。
再翻倍，它仍然由数字 1 到 9 组成。
如果再翻倍，你会得到一个 10 位数字，它仍然没有重复的数字，并且恰好由 0 到 9 的 10 位数字组成。
再翻倍，数字就变成了，仍然是0到9组成的。
然而，这种模式不会永远持续下去。 继续加倍将第一次导致异常。
魔方中的魔方“魔方”
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“三阶幻方”是指将数字1到9填充到3×3的网格中，使得每行、每列和两条对角线上的三个数字之和完全相同。 下图是一个三阶幻方。 每条直线上的三个数字之和等于 15。
图1
每个人都听说过幻方，但不一定知道它的一些奇妙特性。 例如，任意三阶幻方满足每行组成的三位数的平方和等于倒序排列的各行组成的三位数的平方和。对于上图中的三阶幻方，我们有
816²+357²+492²=618²+753²+294²
利用线性代数，我们可以证明这个结论。
自然形成的幻方
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图2
1/19到18/19这18个分数的小数循环节长度都是18，将这18个循环节排列成一个18×18的数字数组，正好形成一个幻方——每行数字之和，每列和两条对角线都是 81。
（注：严格来说，它不是幻方，因为方阵中有相同的数字）
回文算法
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如果一个数字向前和向后读相同，我们称其为“回文数”。 随机选择一个数字，然后将得到的数字倒着写，不断相加，直到得到回文数。 例如，如果选择的数字是67，则分两步即可得到回文数484：
67 + 76 = 143
143 + 341 = 484
将 69 转为回文需要四个步骤：
69 + 96 = 165
165 + 561 = 726
726 + 627 = 1353
1353 + 3531 = 4884
89的“回文数路径”特别长，直到第24步你才会得到第一个回文数88。
你可能会想，继续“加一加一减”，最后总会得到一个回文数。 这当然并不奇怪。 确实如此——几乎所有的数字，如果你不断地按照规则相加，迟早会出现回文数。
然而，196 是一个相当值得注意的例外。 数学家已经使用计算机计算了超过 3 亿个数字，但从未产生过回文数。 从196开始，可以添加回文吗？ 196有什么特别之处？ 直到今天这仍然是一个谜。
唯一的解决办法
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经典数字谜题：用1到9组成一个九位数，使得该数的第一位能被1整除，前两位组成的两位数能被2整除，三位数能被2整除前三位数组成的数能被2整除，能被3整除，以此类推，直到整个九位数能被9整除。
是的，确实有这么猛的数字：381 654 729。其中，3能被1整除，38能被2整除，381能被3整除，以此类推，直到整个数字能被9整除。这个数字可以可以利用整除性逐步推导出来，也可以利用计算机编程求得。
另一个有趣的事实是，在从 1 到 9 的所有 362,880 个不同的九位数字中，381,654,729 是唯一满足要求的！
一点魔法
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在一张纸上并排画 11 个小方块。 让你的好朋友背对着你（这样你就看不到他在纸上写的东西）。 在前两个方格中填写从 1 到 10 的任意两个方格。 之间的数。 从第三个方格开始，将前两个方格中的数字之和填入每个方格。 让你的朋友一直走到第 10 格。 如果你的朋友最初在方格中填写数字 7 和 3，那么前 10 个方格中的数字是：
7 3 10 13 23 36 59 95 154 249
现在，请你的朋友报告第 10 格中的数字。 稍加计算，你就可以猜出第 11 个方格中的数字应该是多少。 你的朋友会很惊讶地发现，当你计算第11个框中的数字时，结果与你的预测一模一样！
其实，只根据第10个数来推断第11个数是非常简单的。 您所需要做的就是将第 10 个数字乘以 1.618，所得结果就是第 11 个数字。 在上面的例子中，由于249×1.618=402.882≈403，你可以自信地得出第11个数是403。事实上，154和249的和确实等于403。
事实上，无论前两个数字是多少，如果按照这样的方式相加，相邻两个数字的比例总是会越来越接近1.618——这个数字就是传说中的“黄金分割”。
这些现象的原因可以用组合数学中的“生成函数”来完美解释。
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三个魔法分数
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换算成小数时，1/49等于0...，小数点后两位数字是分开的。 前五个数字是 2、4、8、16 和 32。每个数字恰好是前一个数字的两倍。 次。
100/9899 等于
0....,
两位断开后，得到的正是著名的斐波那契（）数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, .... 数列中的每一项都是前面两项的结果那些。 各个项目的总和。
100/9801 等于
0.…….
这些现象的原因可以用组合数学中的“生成函数”来完美解释。
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法雷序列
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选择一个正整数n。 找出所有分母不超过n的最简分数，并从小到大排序。 这个分数序列称为 Farey 序列。 例如，下面显示的是 n = 7 的 Farey 序列。
定理：在Farey序列中，对于任意两个相邻的分数，先计算前者的分母乘以后者的分子，然后计算前者的分子乘以后者的分母，则两个乘积必须相差正好1.
这个定理有从数论到图论的各种证明。 甚至还有一种证明方法，巧妙地利用皮克定理，将其转化为不言而喻的几何问题！
来源 | 新图灵知识，中国科学院高能物理研究所
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