地学小波是分析周期的建模好工具小波分析方法

小波是分析循环的良好建模工具

小波分析是一种强大的统计工具。 它首先应用于信号处理和分析领域，以降低噪声，重建和提取声音、图像、地震等信号，以确定不同信号的振动周期在什么时间或频率出现。 领域。 现在它被广泛应用于许多领域。

在地球科学中，各种气象因素、水文过程以及生态系统与大气之间的物质交换过程都可以视为随时间周期性变化的信号。 因此，小波分析方法也适用于地球科学领域，从而分析各个领域。 分析了农业过程的复杂时间模式。 例如，日温变化周期和年温变化周期发生在哪些事件周期？ 近100年来厄尔尼诺-拉尼娜现象的变化周期以及出现的时间段等，请检索小波分析在经济学中应用的文献。

小波变换具有多分辨率分析的特点，能够在时域和频域上表征信号的局部特征。 小波变换将时间序列分解到时频域，以获得时间序列的显着波动模式，即周期变化动态，以及周期变化动态的时间模式（Compo，1998）。 小波（），即小区域内的波，是一种长度有限、平均值为零的特殊波形。 它有两个特点：一是“小”，二是具有正负交替的“波动性”，即直流分量为零。 小波分析是时间（空间）频率的局部分析。 它通过伸缩和平移操作逐渐细化多个尺度的信号（函数）。 它能自动适应时频信号分析的要求，并能关注信号的任何细节。 小波分析将信号分解为一系列小波函数的叠加，这些小波函数是由母小波( )函数通过平移和尺度展开而导出的。 这种不规则小波函数可以用来逼近非稳态信号急剧变化的部分，也可以用来逼近具有局部特征的离散不连续信号，从而更真实地反映原始信号在一定时间尺度上的变化。 。 小波分析的局部分析特性使其成为量化非平稳、不连续时间序列的有效工具（Stoy et al., 2005）。

小波是一种具有零均值并且可以定位在频域和时域中的数学函数（et al., 2004）。 一个小波称为母小波（ ），母小波可以沿着时间索引进行平移和缩放，得到一系列子小波。 子小波可以通过尺度（s，频率的倒数）和位置或时间平移（n）的函数来描述。 使用一系列子小波，可以计算不同时间尺度的信号并显示详细的特征尺度。 拉伸更大的小波窗口使其更宽，可以分析时间序列中更不稳定的部分并捕获大规模（低频）事件的特征。 相反，压缩较小的窗口将包含小规模（高频）事件信息。 当信号乘以子小波并唯一地用s和n表示时，我们就可以计算出信号在时频域中特定位置的系数。 如果可以将n时刻信号的频谱分量与小波s进行比较，则计算出的小波系数具有较大的值。 对n和s的其他组合（例如其他子小波）执行此类计算将产生一系列系数（小波变化）来表达信号在时频域的分解。 通过这种变化，可以获得时间序列的波动模式（循环变化模式）以及这些模式随时间的变化（Furon等，2008；et al.，2003）。

小波变换可分为连续小波变换（ ，CWT ）和离散小波变换（ ，DWT ）。 离散小波变换DWT是数据的紧凑表示，通常用于降噪和数据压缩。 连续小波变分CWT更适合信号特征提取(et al.,2004)。 CWT作为时间序列间歇波动特征提取的工具被广泛应用于地球物理研究中（Furon等，2008；Furon等，2004）。

连续小波变换 CWT

通过对数n进行局部化，最终可以得到显示时间序列在一定尺度上的波动特征及其随时间变化的图，即小波功率谱（Compo，1998；and，1999；et al. ，2004）。

对时间序列进行小波变换时，母小波的选择尤为重要。 Farge(1992)曾经讨论过选择母小波时需要考虑的因素，如正交与非正交、负值与实值以及母小波的特点。 宽度和图形等等。 正交小波函数通常用于离散小波变换，而非正交小波函数既可用于离散小波变换，也可用于连续小波变换（Compo，1998）。 通常在分析时间序列时，我们希望获得平滑且连续的小波幅值，因此非正交小波函数更适合。 此外，为了获得时间序列的幅度和相位信息，必须选择复值小波，因为复值小波具有虚部，可以很好地表达相位（Compo，1998）。 小波不仅是非正交的，而且是经过调整的指数复值小波。

小波功率谱

完整的小波谱可以指示时间序列真实功率谱的无偏、一致估计（以及 Compo，1998）。 由于小波全谱可以显示背景谱测度，因此可以验证局部小波谱的峰值。 由于这一特性，通过小波全谱可以清晰地识别时间序列的周期性波动特征和强度。

小波功率谱边缘效应和影响锥

由于小波变换假设数据是循环的，所以当我们处理有限长度的时间序列时，小波功率谱中会出现边缘效应，即功率谱的开头和结尾处都会出现误差。 为此，我们需要在时间序列末尾补零，使得分析的时间序列总长度N大于2m且小于2m+1。 然而，当我们采取这样的措施时，会导致小波功率谱边缘的端点不连续和谱幅减小。

在这种情况下，需要澄清一个概念，即影响锥（COI）。 影响锥 COI 表示小波谱区域和相应的边缘效应。 小波谱值将在 COI 边缘减少 e-2（Compo，1998；et al.，2004；Furon et al.，2008）。

小波功率谱显着性检验

小波功率谱的统计显着性可以根据零假设进行评估，零假设假设信号是由给定背景功率谱 (Pk) 的稳定过程生成的，通常是白噪声或红噪声（以及 Compo，1998；ère 和夏普，2003）。 由于许多地球物理时间序列都具有红噪声特性（即方差随着尺度增大或频率减小而增大），因此常采用红噪声作为背景谱来检验小波谱。 红噪声过程可以通过一阶自回归过程（AR1）很好地模拟（和 Compo，1998；et al.，2004）。 经过 lag-1 自相关 α 处理的 AR1 的傅立叶功率谱可以定义为：

通常在研究中，除 COI 之外的值在每个量表上均估计为 5% 的显着性水平。

尺度选择

连续小波变换（CWT），其目的是在时域空间中表达时间序列（CWT将时间转化为时间）。

接下来是交叉小波变换（XWT）。 XWT 在空间中发现时间显示出强大的力量。

下一步是小波相干（WTC）。 WTC 在空间中发现两个时间同变的地方（但功率不高）。